福建省三明市梅列区八年级（上）期末数学试卷

这是一份福建省三明市梅列区八年级（上）期末数学试卷，共36页。
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．7，7B．8，7.5C．8，6.5D．7，7.5
4．（4分）在下面的四个图形中，已知∠1＝∠2，那么能判定AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理．若图中AB＝a，CD＝b，AD＝，则下面结论错误的是（ ）
A．AE＝4
B．a2+b2＝16
C．S△ADE＝16
D．△AED是等腰直角三角形
6．（4分）已知函数y＝kx+b的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（4分）下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（4分）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，6），AB⊥x轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0.1）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置。
11．（4分）比较大小： ﹣4．（填“＞”，“＜”或“＝”）
12．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣3）到x轴的距离是 ．
13．（4分）为了增强青少年的防毒拒毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛，其中某位选手的演讲内容、语言表达、演讲技巧这三项得分分别为90分、80分、85分，若依次按50%、30%、20%的比例确定成绩，则该选手的最后得分是 分．
14．（4分）将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝ °．
15．（4分）如图，已知一次函数y＝mx﹣n与y＝2x﹣4的图象交于x轴上一点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑。
17．（8分）计算：
（1）； （2）．
18．（7分）解方程组．
19．（7分）已知：如图，线段AC和BD相交于点G，连接AB，CD，E是CD上一点，F是DG上一点，FE∥CG，且∠1＝∠A．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若∠B＝30°，∠1＝62°，求∠EFG的度数．
20．（8分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识．
（1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1；
（3）判断△A1B1C1的形状，并简要说明．
21．（10分）对于老师给定的一次函数y＝kx+b，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息：
①函数图象与x轴交于点A（﹣2，0）；
②函数图象与y轴交于点B，且OB＝2OA；
③y的值随着x值的增大而增大．
根据以上信息求：
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象；
（3）若直线y1＝mx﹣4与该一次函数的图象平行，求直线y1与两坐标轴围成的面积．
22．（10分）我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b．
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中的m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
23．（10分）某学校为做好疫情防控工作，准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和4包口罩共需470元，购买2个红外线测温仪和3包口罩共需840元．
（1）求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）学校准备购进红外线测温仪30个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别写出y1，y2与x的函数关系式；（x＞30）
（3）学校购买口罩多少包时，选择优惠活动一与活动二费用一样．
24．（12分）已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．
25．（14分）新年第一天，甲、乙两同学相约沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后4分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明；
（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
2020-2021学年福建省三明市梅列区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂。
1．（4分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
【考点】平方根．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：4的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项准确；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（4分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．7，7B．8，7.5C．8，6.5D．7，7.5
【考点】众数；条形统计图；中位数．
【答案】D
【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．
【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；
因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．
故选：D．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4．（4分）在下面的四个图形中，已知∠1＝∠2，那么能判定AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】平行线的判定．
【答案】A
【分析】根据两条直线被第三条所截，如果同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：A．由∠1＝∠2，能判定AB∥CD，故本选项正确；
B．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故本选项错误；
D．由∠1＝∠2，只能判定AD∥CB，故本选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
5．（4分）1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理．若图中AB＝a，CD＝b，AD＝，则下面结论错误的是（ ）
A．AE＝4
B．a2+b2＝16
C．S△ADE＝16
D．△AED是等腰直角三角形
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明；等腰直角三角形．
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质可得AB＝EC＝a，BE＝CD＝b，AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，可求∠AED＝90°，且AE＝DE，即AE＝DE＝4，即可判断各个选项．
【解答】解：∵△ABE≌△ECD
∴AB＝EC＝a，BE＝CD＝b，AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°
∴∠AEB+∠DEC＝90°
∴∠AED＝90°，且AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，AE2+DE2＝AD2＝32，
∴AE＝4＝DE，
∴AB2+BE2＝AE2，
∴a2+b2＝16，
故A、B、D选项正确
∵S△ADE＝AE×DE＝8
故C选项错误
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
6．（4分）已知函数y＝kx+b的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【答案】C
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝3x+6的图象经过第一、二、三象限，此题得解．
【解答】解：将（2，0），（0，4）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4．
∵﹣2＜0，4＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+4的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象与系数的关系，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
7．（4分）下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；
根据对顶角的性质对②进行判断；
根据三角形外角性质对③进行判断；
根据非负数的性质对④进行判断．
【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；
如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8．（4分）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】B
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，
依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【考点】勾股定理的应用．
【答案】C
【分析】根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度．
【解答】解：由题意可知FG＝5cm、EF＝4cm、CG＝3cm，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG＝＝＝cm，
在Rt△EGC中，EG＝cm，CG＝3cm，
由勾股定理得CE＝＝＝＝5cm，
故选：C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，6），AB⊥x轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0.1）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【答案】C
【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，
此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（﹣4，6），D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
由对称可知A'（4，6），
设A'D的直线解析式为y＝kx+b，则：
，
解得：，
∴y＝x+2，
当x＝0时，y＝2
∴E（0，2）．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，线段的最短距离．能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为线段A'D的长是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置。
11．（4分）比较大小： ＜ ﹣4．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分别计算（）2与42，然后进行比较即可解答．
【解答】解：∵（）2＝17，42＝16，
∴＞4，
∴﹣＜﹣4，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣3）到x轴的距离是 3 ．
【考点】点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点到坐标轴距离的定义解答即可．
【解答】解：点（﹣2，﹣3）到x轴的距离是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第三象限内点的横纵坐标都小于0是解题的关键．
13．（4分）为了增强青少年的防毒拒毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛，其中某位选手的演讲内容、语言表达、演讲技巧这三项得分分别为90分、80分、85分，若依次按50%、30%、20%的比例确定成绩，则该选手的最后得分是 86 分．
【考点】加权平均数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
90×50%+80×30%+85×20%
＝45+24+17
＝86（分）．
答：该选手的最后得分是8（6分）．
故答案为：86．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求90，80，85这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
14．（4分）将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝ 15 °．
【考点】平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质和直角三角形的内角解答即可．
【解答】解：∵将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，
∴∠E＝30°，∠ABC＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴∠ABD＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
15．（4分）如图，已知一次函数y＝mx﹣n与y＝2x﹣4的图象交于x轴上一点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】见试题解答内容
【分析】把y＝0代入y＝2x﹣4得出x＝2，然后根据方程组的解为两直线的交点坐标解答即可．
【解答】解：因为一次函数y＝mx﹣n与y＝2x﹣4的图象交于x轴上一点，
所以令y＝0，把y＝0代入y＝2x﹣4得出x＝2，
所以关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：，
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 32 ．
【考点】勾股定理的应用；正方形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．
【解答】解：设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵正方形EFGH的面积为4，
∴b2＝4，
∵AM＝EF，
∴2a＝b，
∴a＝b，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝8b2＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题：本题共9小题，共86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；实数的运算．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、二次根式的性质化简，再根据有理数的加法法则计算即可；
（2）先根据二次根式的除法、平方差公式计算，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝9+（﹣3）+
＝；
（2）
＝
＝5﹣1﹣5+3
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（7分）解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程组两方程相加消去y求出x的值，进而求出y的值，即可确定出方程组的解．
【解答】解：，
①+②得：5x＝10，即x＝2，
将x＝2代入②得：4﹣y＝2，即y＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消去的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
19．（7分）已知：如图，线段AC和BD相交于点G，连接AB，CD，E是CD上一点，F是DG上一点，FE∥CG，且∠1＝∠A．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若∠B＝30°，∠1＝62°，求∠EFG的度数．
【考点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
【答案】（1）见解答；
（2）92°．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠C，再结合已知条件∠1＝∠A，可得∠C＝∠A，从而可利用内错角相等，两直线平行证得结论；
（2）由平行线的性质可得∠D＝∠B＝30°，再利用三角形的外角性质计算可得答案．
【解答】（1）证明：∵FE∥CG，
∴∠1＝∠C．
又∵∠1＝∠A，
∴∠C＝∠A，
∴AB∥DC；
（2）解：∵AB∥DC，∠B＝30°，
∴∠D＝∠B＝30°．
∵∠1＝62°，
∴∠EFG＝∠D+∠1＝30°+62°＝92°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
20．（8分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识．
（1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1；
（3）判断△A1B1C1的形状，并简要说明．
【考点】作图﹣轴对称变换；勾股定理的逆定理．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）△A1B1C1是直角三角形．
【分析】（1）根据点A和点C的坐标即可作出坐标系；
（2）分别作出三角形的三顶点关于y轴的对称点，顺次连接可得；
（3）根据勾股定理的逆定理可得．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）∵正方形小方格边长为1，
∴A1B1＝＝，B1C1＝＝2，A1C1＝＝，
∴A1+B1＝A1，
∴网格中的△A1B1C1是直角三角形．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21．（10分）对于老师给定的一次函数y＝kx+b，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息：
①函数图象与x轴交于点A（﹣2，0）；
②函数图象与y轴交于点B，且OB＝2OA；
③y的值随着x值的增大而增大．
根据以上信息求：
（1）填空：点B的坐标是 （0，4） ；
（2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象；
（3）若直线y1＝mx﹣4与该一次函数的图象平行，求直线y1与两坐标轴围成的面积．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）（0，4）；
（2）函数的表达式为y＝2x+4，函数图象见解答；
（3）4．
【分析】（1）点A（﹣2，0），AO＝2，OB＝2OA，则OB＝4，即可求解；
（2）用待定系数法求出函数表达式，再绘制函数图象即可；
（3）若直线y1＝mx﹣4与该一次函数的图象平行，则m＝2，则函数y1＝2x﹣4，进而求解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），
∴AO＝2，
又∵OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴B（0，4），
故答案为：（0，4）；
（2）把点A和点B的坐标代入y＝kx+b，可得，
解得：，
∴这个函数的表达式为y＝2x+4，
当x＝0时，y＝4，当x＝﹣2时，y＝0，
根据上述两个点绘制函数图象如下：
（3）若直线y1＝mx﹣4与该一次函数的图象平行，
则m＝2，
则函数y1＝2x﹣4，
函数的大致图象如下，设函数交坐标轴于点M、N，
则点M、N的坐标分别为：（2，0）、（0，﹣4），
直线y1与两坐标轴围成的面积＝OM×ON＝＝4，
即直线y1与两坐标轴围成的面积为4．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，两直线平行的性质、面积的计算等，函数函数图象是解题的关键．
22．（10分）我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b．
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中的m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；方差；统计表．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题中数据求出a与b的值即可；
（2）根据（1）a与b的值，确定出m与n的值即可；
（3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得a＝5，b＝1；
（2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m＝6；
优秀率为＝＝20%，即n＝20%；
（3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，
故八年级队比七年级队成绩好．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．
23．（10分）某学校为做好疫情防控工作，准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和4包口罩共需470元，购买2个红外线测温仪和3包口罩共需840元．
（1）求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）学校准备购进红外线测温仪30个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别写出y1，y2与x的函数关系式；（x＞30）
（3）学校购买口罩多少包时，选择优惠活动一与活动二费用一样．
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）一个红外线测温仪是390元，一包口罩的售价是20元；
（2）y1＝20x+11100，y2＝10x+12000；
（3）学校购买口罩90包时，选择优惠活动一与活动二费用一样．
【分析】（1）设一个红外线测温仪是x元，一包口罩的售价是y元，根据购买1个红外线测温仪和4包口罩共需470元，购买2个红外线测温仪和3包口罩共需840元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意分别写出y1，y2与x的函数关系式即可；
（3）令y1＝y2，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设一个红外线测温仪是x元，一包口罩的售价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：一个红外线测温仪是390元，一包口罩的售价是20元；
（2）由题意得：y1＝30×390+20（x﹣30）＝20x+11100，
y2＝30×390+20×30+0.5×20（x﹣30）＝10x+12000，
即y1＝20x+11100，y2＝10x+12000；
（3）当y1＝y2时，20x+11100＝10x+12000，
解得：x＝90，
答：学校购买口罩90包时，选择优惠活动一与活动二费用一样．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（12分）已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据三角形的内角和得∠ABC＝40°，分别根据角平分线的定义和三角形内角和定理得∠G的度数；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得∠A和∠G的关系；
（3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CFD＝45°，
∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；
（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，
设∠ABG＝x，∠CDF＝y，
∵∠ACB＝∠DCF，
∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，
∴y＝，
同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，
∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，
∴∠A＝2∠G；
（3）如图3，∵EF∥AD，
∴∠DFE＝∠CDF，
由（2）得：∠CFD＝∠CDF，
△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠G+∠FBG，
∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
25．（14分）新年第一天，甲、乙两同学相约沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 10 米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为 120 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后4分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明；
（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）10，120；（2）①y＝；②乙不能追上甲；（3）当x为3或10或13时，甲、乙两人距地面的高度差为70米
【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式可解；
（2）①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；
②分别计算甲乙距离地面的高度再比较即可；
（3）求出甲的函数解析式，分0≤x≤2时，2＜x≤11时，11＜x≤20时来讨论即可求解．
【解答】解：（1）甲登山的速度为：（300﹣100）÷20＝10米/分，100+10×2＝120（米），
故答案为：10，120．
（2）①V乙＝3V甲＝30（米/分），
t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），
设2到11分钟，乙的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线经过A（2，30），（11，300），
∴，
解得，
∴当2＜x≤11时，y＝30x﹣30
设当0≤x≤2时，乙的函数关系式为y＝ax，
∵直线经过A（2，30），
∴30＝2a解得a＝15，
∴当0≤x≤2时，y＝15x，
综上所述，．
②能够实现．理由如下：
提速4分钟后，乙距地面高度为30×6﹣30＝150（米）．
此时，甲距地面高度为6×10+100＝160（米）．150＜160，所以此时，乙不能追上甲．
（3）设甲的函数解析式为：y＝mx+100，
将（20，300）代入得：300＝20m+100，
∴m＝10，
∴y＝10x+100．
∴当0≤x≤2时，由（10x+100）﹣15x＝70，
解得x＝6＞2矛盾，故此时没有符合题意的解；
当2＜x≤11时，由|（10x+100）﹣（30x﹣30）|＝70得，
|130﹣20x|＝70，
∴x＝3或x＝10；
当11＜x≤20时，由300﹣（10x+100）＝70得x＝13，
∴x＝3或10或13．
∴当x为3或10或13时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．
【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题中路程＝速度×时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法．在解答中注意线段的解析式要确定自变量的取值范围．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
12．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
13．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
16．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
17．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
19．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
22．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
23．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
24．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
25．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
26．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
27．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
28．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
31．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/22 7:58:14；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
8
6
4
2
0
…
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
A
C
C
A
B
C
C
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
8
6
4
2
0
…
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%