专题03 基本不等式（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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一、单选题
1．若，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得．
【详解】，且，
，即，
当且仅当即且时取等号，
故选：D
2．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．B．3C．8D．9
【答案】B
【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.
【详解】由，得，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3.
故选：B
3．已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
【详解】，，直线，，且，
，即．
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8，
故选：B．
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，，所以，所以，
当且仅当，即 时，取等号，所以的最小值为，
故选：C
5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
所以，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
6．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.
【详解】由可得，因，则，
于是，
因，当且仅当时等号成立，
即，时，的最小值为.
故选：D.
7．已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求积的最大值、对勾函数求最值
【分析】首先利用条件变形为，再利用基本不等式求的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】，
，
因为，且，所以，
设，，
函数在区间单调递减，所以函数的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最大值为6D．的最小值为
【答案】ABD
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可.
【详解】因为，且，
对于选项A：因为，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于选项B：因为，可得，即
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为6，故C错误；
对于选项D：，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
10．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项.
【详解】当且仅当时取等号，A选项正确；
当且仅当时取等号，B选项错误；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确；
∵，∴，∴，D选项正确.
故选：ACD.
11．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】AD
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】选项A，对条件进行变形得，从而得到，再利用基本不等式，即可求解；
选项B，根据条件，直接利用基本不等式，即可求解；
选项C，根据条件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解；
选项D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】对于选项A，由，得，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以选项A正确，
对于选项B，因为，所以，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，所以选项B错误，
对于选项C，因为，
当且仅当，即时取等号，
又，解不等式得，即，得到的最大值为，所以选项C错误，
对于选项D，由选项A知，所以
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，所以选项D正确，
故选：AD.
三、填空题
12．设且，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故答案为：12.
13．已知正实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】将代入可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，
所以.又，
所以，
当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：
14．已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可.
【详解】由于，因此，
则，
当且仅当时取等号．
故答案为：.
15．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论.
【详解】令时，可得，
可知函数，且的图象恒过定点，
因为定点在直线上，
可得，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
16．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.
【答案】(1)
(2)9千件
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利润最大问题、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式.
（2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论.
【详解】（1）当时，；
当时，.
综上：.
（2）当时，，.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
当时，.
因为，当且仅当即时取“”.
此时.
因为.
所以当年产量为千件时，年利润最大.
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数的值域或最值
【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可；
（2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值.
【详解】（1）由题意可知：.
（2）由（1）可知：，
若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，
此时的最大值为；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的最大值为；
又因为，可知的最大值为，
所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元.
19．已知均不等于1的正数满足且且1，且.
(1)若，求的最小值；
(2)当时，求的最大值；
(3)若的最小值为，求的值.
【答案】(1)8
(2)16
(3)
【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）当时，，然后利用基本不等式可求出的最小值；
（2）由已知得，结合基本不等式可求出的最大值；
（3）由已知得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得答案.
【详解】（1）当时，，
，当且仅当时取等号，
的最小值为8.
（2）由已知，
，
，当且仅当时取等号，
的最大值为16.
（3）由（2）知，则，
，
当且仅当时取等号.
因为的最小值为，
所以，则，
解得，
20．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米.
(1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围；
(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.
【答案】(1)，；
(2)长9米、宽3米，周长的最小值为24米.
【知识点】分式型函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）根据给定信息，利用矩形面积公式即可求解.
（2）由（1）的结论，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得，
由，得，即，解得，
所以关于的函数解析式是，.
（2）展牌的周长，
当且仅当 ，即时取等号，此时，
所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米.