专题06 函数的基本性质（考点清单+知识导图+ 19个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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（个考点梳理+题型解读+提升训练）
【清单01】函数的图象
1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
1.2、函数图象的对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
【清单02】函数的单调性
2.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing functin).
2.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing functin).
【清单03】函数的奇偶性
3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
【清单04】函数奇偶性的判断
4.1定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
4.2图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
4.3性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
【清单05】幂函数的图象与性质
5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
5.2、五个幂函数的性质
【考点题型一】函数图象识别
核心方法：特殊值法，单调性，奇偶性，零点，极限法
【例1-1】（24-25高一上·广东清远·期中）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C． D．
【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型二】判断并证明函数的单调性
核心方法：证明单调性只能用定义法
判断单调性：①（）；②（）③图象法
【例2】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知函数，．

(1)画出当时，函数y=fx的图象；
(2)探究函数y=fx的单调性．
【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的图象过点和．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明 .
【变式2-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数．
(1)求函数的解析式．
(2)判断函数的单调性并证明；
【考点题型三】求函数的单调区间
核心方法：图象法
【例3】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 .
【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ．
【考点题型四】求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域）
核心方法：同增异减
【例4】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ．
【变式4-1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B． C． D．
【考点题型五】根据函数单调性求参数
核心方法：图象法
【例5-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
【变式5-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型六】判断函数的奇偶性
核心方法：①定义法
②图象法
③性质法
【例6】（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为
①
②
③
④
【变式6-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值
核心方法：奇偶性定义
【例7】（24-25高一上·四川成都·期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
【变式7-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数，且，则（ ）.
A．B．C．D．3
【变式7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）若函数为奇函数，则实数 .
【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式
核心方法：奇偶性+单调性（特别注意容易忽视定义域）
【例8-1】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且对任意，当时，总有，则满足的x的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】（24-25高一上·天津南开）定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是 .
【变式8-1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（ ）
A．−∞,1B．C．D．
【变式8-2】（24-25高一上·天津津南·期中）定义在R上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（ ）
A．B．C．D．
【考点题型九】函数的对称性和周期性
【例9】（24-25高三上·辽宁锦州·期中）已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（ ）
A．2024B．2C．1D．0
【变式9-1】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．
【变式9-2】（多选）（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．D．为偶函数
【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用
【例10】（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．是以8为周期的周期函数
C．存在函数，使得对，都有
D．
【变式10-1】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数是定义域为R的奇函数，且，则（ ）
A．B．的一个周期是3
C．的一个对称中心是D．
【变式10-2】（多选）（24-25高三上·甘肃金昌·期中）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于轴对称
C．
D．若函数满足，则
【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式
【例11】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 .
【变式11-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ．
【变式11-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
【考点题型十二】求分段函数的单调区间
【例12】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明）；
(2)求集合M={m|使方程有两个不相等的实根}.
【变式12-1】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数在上的解析式；
(2)画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域．
【变式12-2】（23-24高一上·天津）函数的单调递增区间为 .（用开区间表示）
【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数
【例13】（24-25高一上·河南洛阳·期中）设 若函数y=f(x)是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-2】（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 .
【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题
核心方法：图象法
【例14】（24-25高一上·天津·期中）给定函数，，用表示函数，中的较大者，即,，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
【变式14-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（ ）
A．0B．1C．3D．12
【变式14-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）定义运算，已知函数，则的最大值为 .
【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题）
核心方法：配方法+图象法
【例15】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
【变式15-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是 .
【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题）
核心方法：图象法+分类讨论
【例16-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数．
(1)已知，若，求实数取值范围；
(2)求在上的最小值；
(3)函数的最大值．
【例16-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；

(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值.
【变式16-1】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数
(1)若函数 是偶函数，求实数k的值；
(2)若不等式的解集为，求实数k的值；
(3)求函数在上的最小值.
【变式16-2】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数是上的奇函数，
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【考点题型十七】恒成立与能成立问题
核心方法：判别法+变量分离法+基本不等式+对勾函数
【例17-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数.
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.
【例17-2】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数.
(1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围.
【变式17-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义域是的奇函数，当时，.
(1)若，求的值；
(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【变式17-2】（24-25高一上·湖北·阶段练习）设，其中，记．
(1)若，求的值域；
(2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【考点题型十八】抽象函数综合问题
【例18】（24-25高一上·湖北·期中）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，.
(1)证明：是偶函数；
(2)如果，解不等式.
【变式18-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，.
(1)求，的值；
(2)证明是偶函数；
(3)解不等式.
【变式18-2】（24-25高一上·江西景德镇·期中）设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明.
(3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值.
【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题
【例19】（24-25高一上·湖北·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值.
【变式19-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函数对任意的均有，则称函数具有性质.
(1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由；
(2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质；
(3)若函数具有性质，且，求证：对任意，，均有.
【变式19-2】（24-25高一上·山东青岛·期中）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.
(1)求函数的所有“保值”区间；
(2)判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由；
(3)已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值.
提升训练
一、单选题
1．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．3D．5
2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高一上·天津北辰·期中）已知函数，其中为奇函数，若，则（ ）
A．2017B．2018C．2023D．2022
7．（24-25高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，若正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数在上是减函数
D．
10．（24-25高一上·吉林·期中）已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的图象关于点中心对称
三、填空题
11．（24-25高一上·福建厦门·期中）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是 .
12．（24-25高一上·广东广州·期中）定义：，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 .
四、解答题
13．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义域为上的奇函数．
(1)求，的值；
(2)证明：在定义域内是单调递减函数；
(3)解关于的不等式．
14．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知函数为上的奇函数，当时，fx=x2−2x.
(1)请在坐标系中画出的图象，并写出的解析式;
(2)当时，求关于x的不等式的解集.
15．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
(3)求使成立的实数a的取值范围.
16．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）我们知道函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)由上述信息，若y=f(x)的图象关于点成中心对称图形，证明：；
(2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值.
(3)若函数具有以下性质：
①定义域为，
②在其定义域内单调递增，
③，都有
当函数，求使不等式成立的实数的取值范围.
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在单调递增
在上单调递增
在单调递增
在上单调递减
在上单调递减
定点
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数