专题07 指数与指数函数（考点清单+知识导图+ 15个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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【清单01】整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
【清单02】根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
【清单03】分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
【清单04】有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点05：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
【清单05】指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
【清单06】指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
【清单07】指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
【清单08】指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
【考点题型一】根式的化简求值
核心方法：①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 .
【答案】4
【知识点】根式的化简求值
【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简.
【详解】因为,所以,
所以,
故答案为：4.
【变式1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A．－1B．1C．D．
【答案】B
【知识点】根式的化简求值
【分析】根据根式的性质化简求值即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
【变式1-2】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算
【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确.
故选：CD.
【考点题型二】分数指数幂的化简求值
核心方法：根据分数指数幂定义
①（，，）
②（，，）
【例2】（24-25高一上·天津·期中）计算下列各式：
(1)（其中a>0，结果化为幂的形式）；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值
【分析】（1）根据根式的运算与指数幂的运算法则化简即可；
（2）根据根式的性质与指数幂的运算法则化简即可；
（3）根据指数幂的运算法则化简即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
【变式2-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）计算： .
【答案】3
【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值
【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的互化即可得解.
【详解】
.
故答案为：3.
【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）计算: .
【答案】
【知识点】指数幂的化简、求值
【分析】根据分数指数幂运算法则计算可得结果.
【详解】易知原式；
故答案为：
【考点题型三】条件求值
核心方法：完全平方公式；立方公式
【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 .
【答案】
【知识点】指数幂的化简、求值
【分析】根据，再结合时，则，即可求解.
【详解】由，
因为，则，
故，即得.
故答案为：.
【变式3-1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：
①；
②.
【答案】①7；②47
【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值
【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果；
①由求解出结果；②由求解出结果.
【详解】①因为，所以，即，所以；
②由①知，两边平方得，.
【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值：
①；
②.
【答案】（1）；（2）①7；②
【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【分析】利用平方关系求解.
【详解】①因为，所以，即，所以；
②因为，又因为，所以
【考点题型四】指数幂的综合运算
【例4】（23-24高一上·天津南开·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】指数幂的运算
【分析】根据幂的运算性质，可得答案.
【详解】（1）
.
（2）.
【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【分析】（1）根据指数运算公式直接求值；
（2）根据指数运算公式化简求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
【变式4-2（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）108；（2）2
【知识点】指数幂的运算
【分析】根据指数的运算性质分别计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，所以，
所以.
【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数）
【例5】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据函数是指数函数求参数
【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案．
【详解】解得，
又函数在上单调递增，则，
故选：B
【变式5-1】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 .
【答案】27
【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数
【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可.
【详解】因为为指数式，则，解得或，
又因为且，可得，即，
所以.
故答案为：27.
【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是
【答案】
【知识点】根据函数是指数函数求参数
【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于的取值范围.
【详解】解：函数是指数函数，且，，由解得或，.所以a的取值范围为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.
【考点题型六】指数函数的图象过定点
核心方法：
【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）函数的图象恒过的定点为 ．
【答案】
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可.
【详解】令，解得，且，
所以函数的图象恒过的定点为.
故答案为：.
【变式6-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．1C．2D．
【答案】C
【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由得，又，所以定点为，
从而，
，当且仅当时等号成立，
故选：C
【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 .
【答案】
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定的坐标．
【详解】令，解得，此时，
点的坐标为.
故答案为：.
【考点题型七】指数（型）函数图象的识别
【例7】（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断指数型函数的图象形状
【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.
【详解】，所以，排除AC，且，排除D.
故选：B
【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可.
【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.
再取特殊值，且为正数.排除D.
当时，，越大函数值越接近1，排除C.
故选：A.
【变式7-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域
【分析】由奇偶性及函数值即可判断.
【详解】由知：，
，偶函数，AC错，
，B错，
故选：D
【变式7-3】（多选）（24-25高一上·广东·期中）函数 且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用
【分析】结合指数函数的图象性质，分，分别研究单调性和渐近线，进而得到答案.
【详解】当时，，
显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合；
对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；
当时，，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合；
故选：BC.
【考点题型八】画指数（型）函数图象
核心方法：根据函数图象变换方法
【例8】（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象.
【答案】图象见解析
【知识点】指数函数图像应用
【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象.
【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，
再向下平移1个单位得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，
然后将该部分关于y轴对称得到，
则图象如图示：
【变式8-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
【答案】．
【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用
【分析】依题意，作出函数的图象，要使两者有两个公共点，需使，即可求得参数范围.
【详解】
由，作出函数的图象如图．
由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即.
故实数a的取值范围为．
【变式8-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【知识点】指数函数图像应用
【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案.
【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的．
（2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的．
（3）与的图象关于y轴对称，
作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象．
（4）为偶函数，其图象关于轴对称，
故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象．
【考点题型九】利用指数函数的单调性比较大小
核心方法：根据指数函数的单调性
【例9】（多选）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【知识点】比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性
【分析】利用指数函数和幂函数单调性来比较各选项中数的大小.
【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减.
又因为，，即.
所以，A选项正确.
对于B选项,对于，是单调递减函数，.
在单调递增，,所以，B选项错误.
对于C选项,，.
是单调递增函数，.所以，C选项正确.
对于D选项,，.
是单调递增函数，，则，其倒数关系为.
所以，D选项错误.
故选：AC.
【变式9-1】（浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小
【分析】根据指数函数的单调性，即可判断.
【详解】，，，
单调递减，，
所以，即.
故选：D
【变式9-2】（24-25高一上·天津南开·期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小
【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可.
【详解】因为函数是增函数，
所以，即，
又，
所以.
故选：D.
【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式
核心方法：根据指数函数的单调性
【例10】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为奇函数.
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)1，
(2)
【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性
【分析】（1）由奇函数的性质可得，即可求出m的值；由可得，即可求解；
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】（1）因为的定义域为R，且为奇函数，
则有，即，
经检验，符合题意，所以.
又，则，即，即，
则，所以函数的值域为.
另解：显然是R上的增函数，且，
由函数单调性的性质可得在上递增，
即也在上递增，故当时，，同时，
由增函数性质可得，故函数的值域为.
（2）由，可得，
又函数为奇函数，则，
所以 ，
又是R上的单调增函数，由函数单调性的性质可得是R上的单调减函数，
即是R上的单调增函数，
由可化为，即，
所以实数的取值范围为.
【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．
(1)求t和a的值；
(2)若，求实数k的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】(1)直接利用奇函数性质可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a.
(2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可.
【详解】（1）因为函数（，且）是定义域为的奇函数，
所以，所以，
所以，解得，
所以，
因为函数的定义域为关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，故满足题意，
又因为的图象过点，
所以，，且，
解得或（舍去），
综上t和a的值分别为2，2.
（2）由（1）可知函数是奇函数，
所以不等式等价于，
因为指数函数在上单调递增，
所以由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以不等式等价于，
即，不等式恒成立，
当且仅当，解得，
所以实数k的取值范围为.
【变式10-2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数．
(1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)，在和上都是减函数．
(2)．
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式
【分析】（1）由奇函数的定义求得参数，再由单调性定义证明．
（2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解．
【详解】（1）由题意恒成立，即，整理得，
∴，，
，它在和上都是减函数，
设且均不为0，，
若，则，，，所以，即，
∴在上是减函数，
同理若，则，，，所以，即，
∴在上是减函数．
（2），时，，时，，
，是奇函数，则，
，若，则，不合题意，
∴且，解得．
【变式10-3】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是定义在上的奇函数
(1)判断在上的单调性，并用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，证明见解析；
(2)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可；
（2）根据奇函数和单调性原不等式等价于，即可求解.
【详解】（1）解：因为，在上单调递增，
所以在上单调递减，证明如下：
证明： ．
设，则，
所以，
因为，所以，
所以，
所以在上是减函数；
（2）解：因为函数是奇函数，
所以成立，等价于成立，
因为在上是减函数，
所以，，即，解得：，
所以实数的取值范围为．
【考点题型十一】指数型复合函数的单调性
核心方法：复合函数单调性法则
【例11】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是
【答案】
【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性
【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得.
【详解】函数的定义域为R，令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
【变式11-1】（多选）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】ABD
【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性
【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD.
【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确；
对于B，因为，所以，
故函数的值域为，故B正确；
对于CD，因为在R上是减函数，
在上是减函数，在上是增函数，
所以函数在上单调递减，C错误，D正确.
故选：ABD.
【变式11-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】易知，显然在上单调递增，
在上单调递减，
因为在区间1,+∞上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，
所以.
故选：A
【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
核心方法：换元法
【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；
（2）首先将函数和在定义域的最小值设为，由题意可知，首先求得，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求，然后解不等式，即可求解.
【详解】（1）若，
，
因为，令，则，
又因为在上单调递增，
当，即时，函数取得最小值；
（2）设在上的最小值为，在上的最小值为，
由题意可知，，
若，
，
因为，令，则，
又因为在上单调递增，
当，即时，函数取得最小值2，即；
所以在上的最小值应该满足，；
因为，解得：或，
当时，且，则，
可得，
可得的最小值为，则，解得：，
当时，且，，
可得，
可知，的最小值为，则，解得：，
综上可知，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数的最小值，根据，缩小的取值范围，再讨论去绝对值.
【变式12-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数()
(1)若，求函数在上的最大值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值；
（2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解.
【详解】（1）若，则，
因为x∈0,2，令，
可得的图象开口向上，对称轴为，
可知：当时，取得最大值，
所以函数在0,2上的最大值为8.
（2）因为，
即，
整理得，
令，当且仅当，即时，等号成立，
则，，
则，整理得，
由题意可知：方程在内有解，
因为在内单调递增，可知在内单调递增，
则，可得，
所以实数的取值范围为.
【变式12-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若有最小值3，求的值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2).
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解；
（2）设，结合指数函数单调性可知的最小值为1，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【详解】（1）因为，所以.
设，则.
因为，所以为R上的单调递增函数.
又在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）设，则.因为，所以为R上的单调增函数.
因为有最小值3，所以，的最小值为1.
当时，，无最小值，不合题意；
当时，则，解得.
【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题
核心方法：换元法
【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，.
(1)当时，求的最小值；
(2)记的最小值为，求的解析式.
【答案】(1)
(2)
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求已知指数型函数的最值、复合函数的最值
【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；
（2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得．
【详解】（1）设，因为，则，
则，，
当时，，，
∴时，，即当时，.
（2）由（1）知，，
其图象的对称轴为．
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，，
③当时，在上单调递减，所以.
综上，.
【变式13-1】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，且，．
(1)求a，b的值，并写出的解析式；
(2)设，求在的最大值和最小值．
【答案】(1)，，
(2)最大值为，最小值为．
【知识点】求已知指数型函数的最值、求解析式中的参数值
【分析】（1）根据，列出方程组，解出的值，进而可得的解析式；
（2）先求出，然后利用换元法，结合二次函数的知识可求出结果．
【详解】（1）由，得，
解得，．且．
所以a，b的值分别为1，2，的解析式为．
（2），
令，则由得，
所以变为，．
对称轴为直线，，
所以当，即时，；
当，即时，．
综上时，的最大值为，最小值为．
【变式13-2】（24-25高一上·青海海东·阶段练习）已知指数函数（且）的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)值域为；单调递减区间为，单调递增区间为
【知识点】求指数函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值
【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式；
（2）令，，利用复合函数的单调性可得出函数在上的单调增区间和减区间，并由此求出函数的值域.
【详解】（1）解：因为函数（且）的图象过点，则，解得，
因此，.
（2）解：，令，因为，则，
令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
又因为函数单调递增，
所以，函数在上的减区间为，增区间为.
故当时，，
又因为，，故，
所以，函数在上的值域为.
【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题）
核心方法：
【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，.
(1)求的值；
(2)判断hx的奇偶性，判断并用定义法证明hx的单调性；
(3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)为奇函数，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据奇偶性定义研究式子恒成立即可求得的值；
（2）利用奇偶性定义判断，利用单调性定义证明即可；
（3）可将不等式转化为，再应用函数的单调性转化成，再分类讨论解出的取值范围即可.
【详解】（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数，
所以f−x=−fx，即，
所以恒成立，所以；
所以，即，
所以恒成立，所以
（2）因为，
则的定义域为，
因为，所以hx为奇函数；
因为，
于是任取，且，
则
，
，
所以hx为上增函数；
（3）解：因为，
所以即，
又因为hx为R上增函数，所以对任意x∈R恒成立，
当时，解集不为R，所以；
当时，只需，可得到.
综上实数的取值范围是
【变式14-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知指数函数的图象过点，函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式对恒成立，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数函数解析式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解.
【详解】（1）设（，且），由，得，
所以.
（2）在上单调递增.
证明如下：
由题意得.
，，且，
则
.
由，得，，则，.
所以，即，
故在上单调递增.
（3）由题意得，所以是偶函数.
由，得，
易得，，
因为在上单调递增，
所以由，得.
当时，恒成立；
当时，.
因为，所以，
得，即t的取值范围为.
【变式14-2】（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)证明：在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）定义域为R的奇函数满足，据此求解即可；
（2）根据定义证明单调性即可；
（3）根据奇函数性质转化成，再结合函数单调性求解.
【详解】（1）因为为R上的奇函数，
所以，得.
又，得.
经检验，符合题意.
（2）任取，且，
则.
因为，根据指数函数单调性，所以.
又因为，
所以，所以为R上的减函数.
（3）因为，不等式恒成立，
所以.
因为为奇函数，所以.
因为为R上的减函数，
所以，即恒成立，
而，取得等号.
所以.
【变式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明；
(3)若不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)为上的增函数，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式
【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论；
（2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性；
（3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论.
【详解】（1）∵为上的奇函数．
∴，∴，∴
检验：此时为奇函数，满足条件；
（2）为上的增函数，
证明：，且，
，
∵，∴，∴，
∴，即，∴为上的增函数．
（3）∵，∴，
∵在上的奇函数，∴，
∵为上的增函数，∴，
∵对恒成立，∴，
∵在上单调递增，∴，
，使不等式成立，∴，
∵在上单增，在上单减，
∴，∴，∴，
另解：，使不等式成立，
∴，
∵，∴在上单减，在上单增
∴
∴即 ∴对恒成立
∴，
∵在上单增，∴，
∴，∴．
【考点题型十五】指数函数中新定义问题
【例15】（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”
(1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由；
(2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围；
(3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合．
【答案】(1)不是伪奇函数；不是伪偶函数，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次方程根的分布问题、函数新定义、等式的性质与方程的解
【分析】（1）求出即可判断是否为“伪奇函数”；求解方程即可判断是否为“伪偶函数”；
（2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，然后利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围；同时根据是“伪偶函数”求出范围，进而可得到答案；
（3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可．
【详解】（1）因为，其定义域为，则，
，
因为恒成立，从而，
故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得f−x=−fx，
所以不是“伪奇函数”．
若，则，
则，且，解得，
故在函数定义域内不存在非零实数满足，
所以不是“伪偶函数”．
（2）因是幂函数，
则，所以，，
所以，，
因为在上是“伪奇函数”，
所以在上存在非零实数解，
所以在上存在非零实数解，
则，且，
令，则，且，
令，且，
，
当且时，，则，
当且时，，则，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，当且时，，即，故，
因为是“伪偶函数”，
所以存在非零实数解，
即存在非零实数解，显然，
综上，实数的取值范围为．
（3）由定义可得，在上存在非零实数解，
则在上存在非零实数解，
即在上存在非零实数解，
所以(在上存在非零实数解，
令，
∵，当且仅当，即时取等号，
又，∴，
则方程在上有实数解，
令，对称轴为，
当时，则，所以，故；
当时，则，即，
故，
综上，，
又为整数，则，
所以的取值集合为．
【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“伪奇函数”“伪偶函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.
【变式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数f(x)，若.
(1)已知试写出、的表达式;
(2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；
(3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】函数新定义、判断指数函数的单调性
【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式；
（2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；
（3）根据题意，结合在上的单调性和值域，分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为函数在上单调递减，
则，
因为函数在上单调递增，则.
（2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递增，
当时，令，则，
由，则，对称轴，
根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立．
当时，令，由，则，只需，
化简得，解得，
综上所述，a的取值范围为.
（3）当时，函数在上单调递减，
则，，
由题意，对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，符合题意.
当时，函数在1,2上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，，即，恒成立，符合题意；
当时，，即，恒成立，符合题意；
当时，函数在1,2上单调递减，在上单调递增，
则，，
由题意，当时，，即，恒成立，符合题意；
当时，，即，不恒成立，不符合题意；
当时，，即，不恒成立，不符合题意.
综上所述，b的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.
【变式15-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”.
(1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由：
(2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值.
【答案】(1)函数为上的“卷函数”，理由见解析
(2)
(3)4
【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）写出函数的分段函数形式，再结合新定义判断即可；
（2）令，结合二次函数的性质及题意可得不等式恒成立，进而结合函数的值域可得，进而求解即可；
（3）根据题意可得存在区间和常数，使得恒成立，即，列出方程组即可求得m、c、n的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m、n的值，进而求解.
【详解】（1）函数为上的“卷函数”，理由如下：
对于函数，
当时，，且当或时，恒成立，
所以函数为上的“卷函数”.
（2）由于，当且仅当，即时等号成立，
令，则，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以当时，，
由题意，不等式对恒成立，
即不等式恒成立，
由（1）知，当时，，且当或时，恒成立，
则，解得，
即实数x的取值范围为.
（3）因为函数是区间上的“卷函数”，
则存在区间和常数，使得恒成立.
所以恒成立，即，
解得或，
当时，，
当时，，当时，恒成立.
此时，是区间上的“卷函数”.
当时，.
当时，，当时，，
此时，不是区间上的“卷函数”.
综上所述，，，
所以.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
提升训练
一、单选题
1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】探求命题为真的充要条件、判断指数函数的单调性
【分析】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可.
【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”，
所以“”是“是增函数”的充要条件，
故选：C.
2．（24-25高一上·广东清远·期中）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解.
【详解】因为是减函数，所以，
因为在上单调递增，又，所以，
又是增函数，所以，则，
故选：A.
3．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数
【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可；
【详解】由题知，解得.
故选：A.
4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求指数型复合函数的值域
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】令，因为，所以，
则，
令，，
所以当时取得最小值，且，又，，
所以，即函数的值域是.
故选：C
5．（24-25高一上·广东·期中）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据奇偶性可排除CD，根据或时，可排除B.
【详解】由于的定义域为，关于原点对称，
且为偶函数，故图象关于轴对称，排除CD,
又当或时，，可排除B,
故选：A
6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在R上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式
【分析】结合指数函数的单调性和奇偶性，以及运用参数分离和基本不等式、结合能成立思想，可得所求范围．
【详解】因为是R上的奇函数，所以，所以.
因为，所以，解得，
所以，
检验，此时为R上的奇函数，
因为函数为减函数，
所以函数fx为增函数；
因为能成立，
所以能成立，
参变分离，即能成立.
因为（当且仅当，即时取等号），
故选：D.
7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，则满足不等式的的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】分别用定义判断函数的单调性和奇偶性，然后将转换为求解即可.
【详解】函数定义域为关于原点对称，
，所以为奇函数，
在定义域为内任意选取两个自变量，且，
，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
因为，即，即，
结合单调性知，即，解得，
所以的范围是，
故选：A.
8．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由指数（型）的单调性求参数、函数新定义
【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
可得，解得；
②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即，不等式组无解；
综上所述；.
故选；C.
二、多选题
9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD.
【详解】，故可作出的图象如图所示，

由图可知，要使且成立，则有且，
故必有且，
又，即为，所以．
由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能，
故选：BC．
10．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．若是偶函数，则
B．无论取何值，都不可能是奇函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值小于1
【答案】ABC
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求参数
【分析】对于A，由函数定义得，由此即可验算；对于B，由实数域上奇函数的必要条件即可判断；对于C，由指数函数、复合函数单调性即可判断；对于D，由复合型指数函数的值域和最值即可判断.
【详解】对于A项，若是偶函数，则，
所以，即可得，故A项正确；
对于B项，不过点，故B项正确；
对于C项，在上单调递减，又在上单调递增，
所以在上单调递减，故C项正确；
对于D项，，又在上单调递增，
所以的最大值为，所以最大值大于等于1，故D项错误.
故选：ABC.
三、填空题
11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】利用图象以及的值域来求得实数的取值范围.
【详解】依题意，，
，
，当时，，
由解得或，
而，结合图象可知：.
故答案为：
12．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】函数，，则，
函数，，则，
因为对任意的，存在，使得，
所以的值域为函数的值域的子集，即，
所以，解得，
即实数m的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（山东省百师联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的最小值为3，求k的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【知识点】求指数型复合函数的值域、对勾函数求最值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域；
（2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值；
（3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围.
【详解】（1）由题设，而，
所以；
（2）令，则，开口向上且对称轴为，
当时，在上递增，此时无最值，不满足；
当时，在上递减，在上递增，
所以，可得（正值舍）.
（3）由题意有解，即有解，
对于，当且仅当时取等号，
又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷，
故只需，即.
14．（广西壮族自治区玉林市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知定义域为的函数是奇函数，且.
(1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，函数在上单调递增，证明见解析
(2)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式
【分析】（1）根据题意可得，进而解出a，b的值，再利用函数单调性的定义证明单调性即可；
（2）根据函数的奇偶性可将不等式化为，再结合单调性及定义域求解即可.
【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，且
所以，解得，
此时，则，符合题意，
所以.
函数在上单调递增，证明如下：
由，
任取，且，
则
，
因为，所以，，
则，即，
所以函数在上单调递增.
（2）由题意，函数是定义在上的奇函数，
由，即，
由（1）知，函数在上单调递增，
则，解得，
即实数m的取值范围为.
15．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数，求在[1,3]的最小值；
(3)若使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)1
(3)或
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、判断指数函数的单调性、分类讨论解绝对值不等式
【分析】（1）根据指数函数的性质解指数不等式即可得解集；
（2）利用指数函数的性质结合基本不等式求最值即可；
（3）根据指数函数与二次函数的性质，结合换元转化求函数最值即可得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，且函数在上为减函数，
所以不等式的解集为；
（2）
因为，所以，则，
当且仅当，则，即时取等号，取得最小值为1．
（3）因为，所以，
令，∴，
所以当时，．
因为，则只需，所以，解得或．
16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数.
(1)求，的解析式；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增；
(3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，再解关于，的方程组即可；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）参变分离可得对任意的恒成立，结合对勾函数的性质求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
因为，则，即，
解得，；
（2）由（1）知，设且，
则
，
因为且，所以，，即，，
所以，即，即，
所以在区间上单调递增；
（3）因为不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立，
由（2）可得当时，
所以对任意的恒成立，
令，则，又对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
，，所以，
所以，当且仅当，
即时取等号，
所以，即实数的取值范围为.
17．（辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.
(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
(2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)不是，证明见解析；
(2)．
(3)
【知识点】求指数型复合函数的值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由解聘 ，再由判断是否不一定有即得；
（2）由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得；
（3）方法一：由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得的范围；方法二：令，求出，等价转化得在0,1上的值域必定包含区间1,2，且的值域在1,2对应的自变量是唯一的，最后对进行分类讨论即可.
【详解】（1）是区间上的“2阶自伴函数”
对任意的，，
则，首先中唯一的，
其次时，，，因此，不一定有，
例如取，由解得，
所以不是区间上的“2阶自伴函数”；
（2）由已知，对任意，，，
，所以且，
即，解得．
（3）方法一：由题意，，
，
，则，所以，
设，则，
于是，，
，，
所以对，恒成立，或恒成立，
恒成立，则，解得，
恒成立，则，解得，
综上，的取值范围是．
方法二：，
令，则，则，
所以.
因为是在区间0,1上的"2阶伴随函数"，
所以对任意的，总存在唯一的，使得成立，
所以，
即在0,1上的值域必定包含区间1,2，
且的值域在1,2对应的自变量是唯一的；
又因为开口向上，对称轴为.
①当，即时，在$[0，1]$上单调递增，则必有，解得；
②当，即时，在$[0，1]$上单调递减，则必有，解得；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性，
则必有，此时无解；
④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性，
则必有，此时无解.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新意识，解题关键是理解新定义并能应用转化，对为区间上的“阶自伴函数”，求参数范围问题，只要解方程，用表示（注意唯一解），然后由求得的范围，再利用此范围是的子集可求得参数（或范围）．
底数
图象
性
质
定义域
值域
定点
图象过定点
单调性
增函数
减函数
函数值的变化情况
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
对称性
函数与的图象关于轴对称