考前终极刷题01（高频选填专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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1．（2024·浙江宁波·一模）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】并集的概念及运算
【分析】化简，根据并集的定义即可求解.
【详解】由，可得，
故，
故选：D
2．（2024·广东·二模）设全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据交并补集的性质可得再运算即可.
【详解】因为，则，即，因为.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算
【分析】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果.
【详解】当时，；当时，；
当时，；当时，；
，.
故选：B.
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】根据集合的交集、并集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】根据及即可求出集合.
【详解】已知全集，
,集合中没有，
若，则，则，与条件矛盾，故，
同理可得，
则.
故选：D.
6．（2024黑龙江·模拟预测）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合
【分析】根据集合的补集以及交集的定义即可求解.
【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，
所以集合表示为.
故选：A.
7．（24-25高一上·重庆·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可．
【详解】由得，
是的必要不充分条件，
，
故选：B．
8．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．13B．C．14D．
【答案】A
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由，利用基本不等式即可求.
【详解】，，又，且，
，
当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13.
故选：A
9．（2024·四川绵阳·一模）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．9
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得的范围，从而求得的最小值.
【详解】，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
10．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（ ）
A．20B．12C．16D．25
【答案】D
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
11．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（ ）
A．9B．18C．24D．27
【答案】A
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.
【详解】根据题意可得；
当且仅当，即时，等号成立；
此时的最小值为9.
故选：A.
12．（2024·四川达州·二模）已知实数满足，则最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】运用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故选：B
13．（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域
【分析】先由函数有意义得，解该不等式即可得解.
【详解】要使函数有意义，则，即，
所以或，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D.
14．（2024·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线y=fx的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数图象选择解析式
【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.
【详解】，排除A.
既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
在上单调递减，排除C.
的图象符合题中图象，B正确.
故选：B
15．（24-25高一上·新疆·期中）函数的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数图像的识别
【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据x∈−1,1时，的奇偶性可排除D.
【详解】，
当x∈1,+∞和时，单调递增，单调递减，
在1,+∞，上单调递减，可排除BC；
当x∈−1,1时，，∴fx图象不关于轴对称，可排除D.
故选：A.
16．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】构造函数，验证其为奇函数，再将问题转化为，然后由单调性解抽象函数不等式即可；
【详解】设，则，故是奇函数．
不等式等价于不等式
即不等式
因为是奇函数，所以
易证是上的减函数，则，即，解得．
故选：B.
17．（24-25高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】依题意，可得，构造，则原条件等价于在上单调递增，再分类讨论，可得答案．
【详解】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，①
，②
①②得：，
，
又对于任意，都有，即对于任意，，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递增，满足题意；
当时，是二次函数，其对称轴方程为，
在上单调递增，所以或，
解得或，
综上，，
即的取值范围为,．
故选：B
18．（2024·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值
【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为，求实数的取值范围.
【详解】若，在上，函数单调递增，所以；
此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以；
因为函数的值域为，所以，结合得.
若，则的值域为；
若，在上，函数单调递减，所以（）；
在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以；
所以函数的值域不可能为；
若，则函数在上，函数单调递减，所以（）；
在上，函数单调递增，，
此时函数的值域不可能为.
综上可知：当时，函数的值域为.
故选：D
19．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0B．C．253D．506
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，
又，则，
所以，
所以函数是周期为8的周期函数，
又，则，
所以，
所以.
故选：A.
20．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】先用定义法证明为奇函数，化简解析式可知为增函数，然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】因为，所以为奇函数，
又因为，
所以为上的增函数.
因为，为奇函数，
所以，
又为上的增函数，所以，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
21．（2024·湖北·模拟预测）函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】当时，在上单调递减，满足题意；
当时，的对称轴为直线，由在上单调递减，
知，解得．
综上，a的取值范围为．
故选：D
22．（2024·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】令可得，再令可得，再令即可得，再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故的值即为所求.
【详解】令，则，令有，
又，所以，
令，所以，所以，
设，则，所以，
所以，
则，故在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为.
故选：D.
23．（2024·四川成都·二模）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性比较大小.
【详解】因为，
，
，且.
所以.
故选：A
24．（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.
【详解】，，，
故，故.
故选：C.
25．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ).
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】比较零点的大小关系
【分析】当时，f1=0，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.
【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；
若，则，所以时，，即；
若，则，所以时，，即.
综上所述，，
故选：D.
26．（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性
【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由题意知在上只能是单调递增，
所以在上单调递增，所以
得.
又单调递增，所以.
综上得.
故选：C
27．（2024·广东肇庆·一模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式.
【详解】定义在上的函数，
因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数.
由.
因为是增函数，所以是减函数.
又因为是减函数，所以在上单调递减.
因为，所以，解得.
故选：B.
28．（2024·吉林长春·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】解分段函数不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】分和两种情况进行求解即可得答案.
【详解】当时，则，解得；
当时，则，解得．
综上，的取值范围是．
故选：A．
29．（2024·四川绵阳·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：）
A．33hB．35hC．37hD．39h
【答案】C
【知识点】对数的运算、指数函数模型的应用（2）
【分析】根据给定条件，求出常数，然后再令即可解出.
【详解】依题意，，解得，即，
当时，，即，
解得，
所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h.
故选：C
30．（2024·北京西城）设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.
【详解】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D
31．（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的最值求参数、由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值
【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案.
【详解】①，故，
因为为上的偶函数，为上的奇函数，
故，所以②，
式子①和②联立得，，
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
所以在上的最小值为，
由于的对称轴为，
故当时，在上单调递增，
故，解得，不合要求，舍去；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，负值舍去；
故选：C
32．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．0C．3D．无穷
【答案】A
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．
【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，，
又时，是增函数，即，
所以，因此时，，
令，它在上是减函数，，，，
当时，，
作出和在上图象，如图，由图可知：
在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点，
所以的零点个数为2.
故选：A．
33．（2024·吉林长春·模拟预测）已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式求解即可.
【详解】由，记．
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以Fx的最小值为，结合图象知，若函数Fx与的图象有两个交点，
即原方程有两个不相等的实数解，则需，解得．
故选:A．
34．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、分段函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式.
【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处，
所以函数在定义域上单调递增，
所以，得，
所以不等式的解集为.
故选：B
35．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、由幂函数的单调性比较大小
【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解.
【详解】因为是上的增函数，
所以，即，
又因为是增函数，所以，
又是上的增函数，
所以，即，
综上所述，a，b，c的大小关系为.
故选：A.
36．（2024·江西·一模）若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】对数型复合函数的单调性、对数函数单调性的应用、由对数（型）的单调性求参数
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.
【详解】在区间上单调递增，令单调递减，
则在区间上单调递减且恒为正，
所以且，所以．
故选：D．
37．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】根据正弦型函数单调性求参数范围即可.
【详解】由题设，则在上递增，
所以，又，故.
故选：B
38．（2024·宁夏吴忠·一模）函数图象的一条对称轴为直线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式
【分析】借助辅助角公式与正弦型函数的对称轴计算即可得.
【详解】由题意可得，，
，其中，，
由函数图象的一条对称轴为直线，
即有，即，
又，故，故.
故选：C.
39．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式
【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式求出，再利用二倍角公式计算即得.
【详解】由，得，
则，即，，解得，
所以.
故选：C
40．（2024·福建·三模）在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】根据三角函数定义得到，，利用凑角法求出答案.
【详解】由题意得，，
故
.
故选：B
41．（2024·山东·一模）已知角终边上一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式
【分析】根据三角函数定义和二倍角的正弦公式即可得到答案.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：D.
42．（2024·辽宁大连·模拟预测）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】由已知可得在上有个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围．
【详解】令，解得，即在上仅有一个零点，
所以只需在上有个不同零点即可．
当时，，所以，即.
故选：C.
43．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位
B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位
C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍
D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍
【答案】C
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.
【详解】由的图象变换为的图象，有以下两种思路：
（1）先将的图象向右平移个单位，得的图象，
再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得的图象，故C正确，D错误；
（2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位，
得的图象，故AB错误.
故选：C
44．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得.
【详解】函数的图象向右平移，
得到，
由于偶函数，所以，
由于，所以取，得.
故选：D
45．（2024·四川绵阳·一模）已知为第一象限角，且，则（ ）
A．9B．3C．D．
【答案】B
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出，再结合二倍角公式化简求值，即可得答案.
【详解】由题意知为第一象限角，且，
故，解得或（舍去），
则，
故选：B
46．（2024·海南·模拟预测）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数的奇偶性及单调性，结合零点存在定理即可求解.
【详解】若，则当时，，
则恒成立，不符合题意.
若，函数和函数都是偶函数，
且都在上单调递减，在上单调递增，
所以为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，
要使在上存在零点，
只需，即，
所以.
故选：.
47．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可；
【详解】因为，所以，
因为，所以，
，
所以，，
所以.
故选：A.
48．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式
【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可.
【详解】因为函数为奇函数，即，
且函数的定义域为，所以，，
可得，解得，
所以，，
则为奇函数，合乎题意.
因此，.
故选：A.
二、多选题
49．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．存在，使得
【答案】AB
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、集合新定义
【分析】A选项，根据题意得到且中元素不能出现在中，故；B选项，与是相同的，所以；C选项，推出；D选项，表达出，结合，，得到，故.
【详解】A选项，且，则，
故，且中元素不能出现在中，故，A正确；
B选项，且，则，
即与是相同的，所以，B正确；
C选项，因为，所以，故，C错误；
D选项，，
其中，，
故，
而，
故，D错误.
故选：AB
50．（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最大值为6D．的最小值为
【答案】ABD
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可.
【详解】因为，且，
对于选项A：因为，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于选项B：因为，可得，即
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为6，故C错误；
对于选项D：，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
51．（2024·贵州铜仁·模拟预测）下列不等式正确的有（ ）
A．当时，的最大值是5
B．已知正实数满足，则
C．当时，
D．函数最小值为
【答案】ACD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式及特殊值依次判断选项即可.
【详解】对选项A，，所以，
则，当且仅当，即时等号成立，故A正确.
对选项B，取，满足 ，显然不成立，故B错误；
对选项C，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确.
对选项D，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
52．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（）
A．且
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由题意可知a>0且和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C.
【详解】关于的的不等式的解集为,
且和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,
，
对，故A正确.
对可化为
,解的,
不等式的解集为，故B错误.
对，1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,
且二次函数y=ax2+bx+c开口向上,
当x=−1时，，即，故C正确.
对D，不等式可化为,
,即，解得
不等式的的集为，故D正确.
故选：ACD
53．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A：∵，，.
∴，.
当且仅当，即，，取“”，∴A正确；
对于B：，由（1）知，∴.
∴.∴B正确；
对于C：.
∴，∴C错误；
对于D：，
当且仅当，即，取“”，∴D正确.
故选：ABD.
54．（23-24高一下·湖南娄底·期末）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论.
【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数；
令，则，所以是偶函数，故B是偶函数；
令，则，所以是偶函数，故C是偶函数；
令，则，所以是奇函数，故D是奇函数．
故选：ABC.
55．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性
【分析】根据函数的解析式，结合函数的性质，即可判断.
【详解】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在0,+∞上单调递增；
选项C，记，则，函数在0,+∞上不是单调递增函数；
选项D，函数是奇函数，在0,+∞上单调递增.
故选：BD
56．（23-24高二下·重庆·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【知识点】函数图像的识别、幂函数图象的判断及应用
【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定的正负，再观察幂函数图象判断即得.
【详解】对于A，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，A可能；
对于B，二次函数开口向下，则，此时存在与图中符合，如，B可能；
对于C，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，C可能；
对于D，二次函数开口向上，则，此时在为增函数，不符合，D不可能.
故选：ABC
57．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】根据①②得到为奇函数且在定义域上单调递减，从而对四个选项一一作出判断.
【详解】由①得为奇函数，由②得在定义域上单调递减，
对于A，满足要求，A正确；
对于B，，故为偶函数，B错误；
对于C，满足要求，C正确；
对于D，，故不是奇函数，D错误.
故选：AC
58．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．在R上单调递减D．当时，
【答案】ABD
【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系
【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项，中，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，
中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项， 由A知，，
又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
59．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】AD
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数的运算、对数函数单调性的应用
【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD.
【详解】函数，由，得，
对于AB，，则，解得，A正确，B错误；
对于C，在上单调递增，则，C错误；
对于D，，
而在上单调递增，，因此，D正确.
故选：AD
60．（23-24高一上·福建厦门·期末）函数在区间内存在零点的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【知识点】充分条件的判定及性质、零点存在性定理的应用、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在性定理列出不等式求解，结合充分条件定义即可判断各选项.
【详解】因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，
若函数在区间内存在零点，
则，即，解得，
故AB符合题意，CD不符合题意.
故选：AB.
61．（23-24高一上·广西河池·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ACD
【知识点】求对数函数的定义域、判断两个函数是否相等
【分析】利用函数的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是；
对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是；
对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是；
对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.
故选：ACD
62．（23-24高一下·湖南株洲·期末）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（ ）（参考数据：）
A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年；
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失；
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的；
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则.
【答案】AC
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】分别将、、依次代入计算即可依次判断选项ABC，根据求出即可判断D，进而得解.
【详解】当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故正确；
当时，，故错误；
当时，，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；
由题意，化简得，
将代入其中，可得，故错误.
故选：.
63．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是
C．函数有两个不同的零点
D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上
【答案】AD
【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程、求函数零点或方程根的个数、判断零点所在的区间
【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得.
【详解】对A，记，易知都在R单调递增，
所以在R上单调递增，
又，
所以存在唯一零点，且，
即方程的唯一解在内，所以，A正确；
对B，令，解得或，
所以函数的零点是或，B错误；
对C，作出的图象如图：
当时，函数和的图象显然有一个交点，
又，所以函数和的图象在处相交，
所以有三个不同的零点，C错误；
对D，因为，
所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确.
故选：AD
64．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．点是函数的一个对称中心
C．在上为增函数D．方程仅有6个实数根
【答案】BCD
【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据fx−1和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D.
【详解】为奇函数，，即，
∴fx关于点对称，
为偶函数，，即，
∴fx关于对称，
由，得：，
，即是周期为的周期函数，
对于A，，A错误；
对于B，，即，
∴fx关于点成中心对称，B正确；
对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，C错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，
即有个实数解，D正确.
故选：BCD.
65．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（）
A．
B．是函数的一条对称轴
C．的对称中心为
D．在的值域为
【答案】ACD
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出,再由周期的计算公式求出，由此可知的表达式，进而可求的对称轴、对称中心，及时的值域.
【详解】对于A,由题意得,则,
所以,故正确;
对于时,,故B错误;
对于C,由,解得,
所以函数的对称中心为，故正确;
对于时,,
所以当，即x=1时，,
当，即时，,
所以,故正确.
故选:.
66．（23-24高一下·四川成都·期末）函数的图象如图所示，则（ ）
A．y=fx的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是奇函数
D．若在上有且仅有两个零点，则实数
【答案】BD
【知识点】三角恒等变换的化简问题、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用三角恒等变换将函数式化成，结合图象确定值即得函数解析式.
对于A，运用周期公式可排除；
对于B只需将代入检验即得；
对于C，求出解析式利用奇偶性定义即可判断；
对于D，应将看成整体角，求出的范围，借助于正弦函数的图象即可求得参数的范围.
【详解】，
由图知函数经过点，则得，解得，
即，因，故得，，则有.
对于A，因的最小正周期为，故A错误；
对于B，
，
因时，，此时函数取到最大值，故的图象关于直线对称，即B正确；
对于C，，显然这是偶函数，不是奇函数，故C错误；
对于D，，当时，设，
作出在上的图象如图.
依题意,需使,即，故D正确.
故选：BD.
67．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
【答案】CD
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.
【详解】对于A，由的图象向左平移个单位得：，
与得到函数不相同，故A错误；
对于B，将代入得：，此时既不是最高点，也不是最低点，
所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
对于C，当时，，
由于在上递减，而，所以在上单调递减，故C正确；
对于D，将代入得：，此时是函数零点，
所以的图象关于点对称，故D正确；
故选：CD．
68．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．在区间上的最大值为
【答案】BD
【知识点】求csx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、求csx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】利用余弦型函数的周期性可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断B选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，则的图象关于点对称，B对；
对于C选项，，
所以，不是奇函数，C错；
对于D选项，当时，，
所以，，所以，在区间上的最大值为，D对.
故选：BD.
69．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）

A．
B．
C．在上单调递减
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称
【答案】AD
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】根据，即可求解周期判断A，代入即可求解判断B，根据整体法即可求解单调性判断C，利用函数平移即可求解D.
【详解】由图得.根据题意可得，解得，A正确.
将的坐标代入，可得，因为是单减区间上的零点，所以，解得，因为，所以，B错误.
由，得，则在上先单调递增，后单调递减，C错误.
将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数的图象关于原点对称，D正确.
故选：AD
70．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的一个单调递增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．若函数在上没有零点，则
【答案】ACD
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断．
【详解】：由函数图象可得，则，所以，
又，则，则，结合其范围有，
由，解得，所以，故正确；
：当时，，则函数在不单调递增，故错误；
：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确；
的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的，
由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点，
由题意得，所以，故正确．
故选：ACD.
三、填空题
71．（23-24高一·江西新余·阶段练习）已知集合，集合.若，则实数 .
【答案】1
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合子集的概念求解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
此时，满足题意.
故答案为：1
72．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ．
【答案】
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据、集合的性质可得答案.
【详解】由，解得，或，或，或，
当时，、，满足，则；
当时，，构不成集合，舍去；
当时，，构不成集合，舍去；
当时，、，满足，则；
由，解得，或，或，或，
当时，，构不成集合，舍去；
当时， ，构不成集合，舍去；
当时， 、，满足，则；
当时，、，满足，则，
综上，，.
故答案为：.
73．（23-24高二下·宁夏银川·期末）己集合，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，依题意，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，，所以，
所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：
74．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 .
【答案】
【知识点】集合新定义
【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解.
【详解】，，
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，所以集合中所有元素之和为.
故答案为：
75．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知，，且满足，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】依题意，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4
76．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可.
【详解】因为且，则
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
因为不等式恒成立，则，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
77．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 .
【答案】/
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用，结合基本不等式可求其最小值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
78．（23-24高一上·陕西渭南）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果.
【详解】由题意可得，，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：.
79．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】由二次函数的性质得，解得，则在上单调递增，所以 可得为方程的两个根，由韦达定理可求．
【详解】函数的图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
则，解得，
所以在上单调递增，所以即
所以为方程的两个根，即为方程的两个根，
由韦达定理有．
故答案为：6
80．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解.
【详解】，不等式 恒成立，
则，即，恒成立，
令，由图知在上单调递减，在上单调递增，
又，故，则.
故答案为： .

81．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________
【答案】-2
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】根据指数函数的性质求解.
【详解】当时，即函数恒过，
此时
故答案为：
82．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性
【分析】对进行分类讨论，得出若要满足题意，当且仅当且在上有定义，由此即可转换为恒成立问题求解.
【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意；
若，则在上单调递增，
即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增，
从而在上不单调递减，故不符合题意；
若，则在上单调递减，
若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减，
从而在上单调递减，
所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义，
若，恒成立，即，恒成立，
当时，的取值范围是，
所以当且仅当且时，满足题意.
故答案为：.
83．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 .
【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用
【分析】根据已知条件，推得，，再结合对数的运算法则，即可求解．
【详解】解：，
所以，，
所以．
故答案为：1．
84．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可
【详解】易知，令，
则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根，
由解得.
故答案为：.
85．（11-12高一上·浙江衢州·期末）已知方程的解所在区间为，则= .
【答案】2
【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间
【分析】构造函数，代入，再结合零点存在定理解答即可；
【详解】构造函数，则fx在为增函数，
则，
由零点存在定理可得函数的零点在2,3之间，
所以，
故答案为：2.
86．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数为偶函数，则实数 .
【答案】1
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据恒成立，化简整理可得.
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
即，整理得，
所以.
故答案为：1
87．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、根据函数零点的个数求参数范围、由对数函数的单调性解不等式
【分析】判断函数的周期，作出其图象，继而将原问题转化为函数，在内的图象有四个交点问题，列出需满足的不等式，求得答案.
【详解】由题意知偶函数满足，即，
故2为函数的周期；
结合当时，，
可作出时的的图象如图：
在区间内，函数有四个零点，
可转化为函数，在内的图象有四个交点问题，
结合图象可知需满足，
即实数的取值范围是，
故答案为：
88．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数可以表示成，则，这样我们可以知道的位数为.已知正整数，若是10位数，则的值为 .（参考数据：）
【答案】或
【知识点】对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式
【分析】依题意可得，两边取常用对数，即可得到，从而得解.
【详解】依题意可得，两边取常用对数可得，
即，所以，即，
又为正整数，所以或.
故答案为：或
89．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用
【分析】根据函数性质可知函数关于x=1，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数为偶函数可知，函数关于x=1对称，且，即，
又因为关于对称，所以，即，
可得函数的周期，
当时，可得其图象如下所示：
由对称性可知，当x>1时满足不等式的整数解有3个即可，
根据图示可得，解得，
即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略
(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
90．（23-24高一上·浙江衢州）若，则 的值为 .
【答案】
【知识点】正、余弦齐次式的计算
【分析】弦化切，代入即可.
【详解】
故答案为：
91．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 .
【答案】4
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式即可直接得答案.
【详解】由，可得，所以.
从而可得.
故答案为：4.
92．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ．
【答案】
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式.
【详解】由图象知，，函数的周期，因此，
又，则，而，于是，
所以函数的解析式.
故答案为：
93．（2024高一下·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ．
【答案】
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题
【分析】利用同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，转化为求，再结合角的范围，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所有，，得，
，且，得，，
，
，
，
因为，所以.
故答案为：
94．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 .

【答案】/0.96
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】根据给定的图形，利用直角三角形边角关系得，再利用同角公式及差角的余弦公式求解即得.
【详解】依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
结合图形知，，即，
两式平方相加得，
即，所以.
故答案为：.
95．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则 ；若在区间上单调递减，则的一个取值可以为 ．
【答案】 1 （答案不唯一）
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】根据相邻对称中心距离为半个周期即可得到，再利用整体法求出，结合三角函数单调性得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得得，解得，
则，
由，
因为在区间上单调递减，且，
所以有，
因此的一个取值可以为，
故答案为：1；（答案不唯一）.
96．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知函数，若存在实数．满足，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数对称性的应用、正弦函数图象的应用、求零点的和
【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，将转化为关于的二次函数求范围即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
因为，，
当时，的图象关于直线对称，
所以，
当时，，
令，得，
所以当时，的图象关于直线对称，
所以，即，
由图可知，
所以，
在上单调递减，所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
97．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】解正弦不等式、三角恒等变换的化简问题、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】先以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意可得，即可得的最大值.
【详解】因为，即，
若存在实数使得上式成立，则，
且，
即，可得，
则，解得，
由题意可知：，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解.
98．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】由复合函数单调性、正弦函数单调性得出关于不等式组，从而，进一步结合，又可得到关于的不等式组，结合即可得解.
【详解】由题意，所以在单调递增，
若在区间上单调递增，则在上单调递增，
所以，其中，解得，
从而等号不能同时成立，解得，
又，所以只能或，
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在得出后还要结合题意得，，由此即可顺利得解.
99．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同实根，则的最小值为 .
【答案】/
【知识点】正弦函数图象的应用、求含csx的二次式的最值、二倍角的余弦公式
【分析】画出函数的图象，结合图象得，根据对称性把转化为，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可.
【详解】方程在上有两个不同的实根
等价于y=fx与的图象在上有两个交点，
如图为函数在上的图象：
由图中可以看出当y=fx与有两个交点时，
有，且，此时，
所以
令，因为，则，所以，
记，，因为函数开口向上，且对称轴为，所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题以方程有根为背景考查了正弦函数的对称性及三角恒等变换、余弦型复合函数值域问题.解题的关键是把方程有根问题转化为函数交点问题，利用正弦函数对称性消元，从而转化为余弦型复合函数的最值问题，采用换元法，利用二次函数性质求解最值即可.