考前终极刷题02（高频解答专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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问题：已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
3．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
4．（23-24高一上·福建福州·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合，，若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
6．（22-23高一上·湖南长沙·期中）设全集集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
7．（23-24高一上·安徽六安·期中）设集合，，.
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
8．（20-21高一上·山东烟台·期中）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．
(1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．
9．（21-22高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式，
(1)若的解集为，求实数a，b的值；
(2)求关于x的不等式的解集．
10．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)若关于x的不等式的解集为.
（i）求的值；
（ii）求的最小值.
11．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的最小值.
12．（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在R上的偶函数和奇函数，且.
(1)求和的解析式；
(2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；
(3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围.
13．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数．
(1)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围；
(2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
14．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义证明函数在区间上是增函数；
(3)解不等式.
15．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知a，b，c为实数，函数（）．
(1)若函数为幂函数，求a，b，c的值；
(2)若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．
16．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
17．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，对，使得成立，求的取值范围.
18．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)证明：函数是奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）定义在上的函数满足，，且时，.
(1)求；
(2)判断在上的单调性并证明；
(3)若，求的取值范围.
20．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数
(1)若a=2，当时，求函数的值域；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
21．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示
已知第10天的日销售收入为元.
(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值.
22．（22-23高一下·甘肃·期末）函数，其中．
(1)若，求的零点；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
23．（23-24高一上·四川成都·期中）在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域）
(1)求收入函数的最小值；
(2)求成本函数的边际函数的最大值；
(3)求生产x台光刻机的这种设备的的利润的最小值．
24．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数，.当时，求的最大值.
25．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增.
(1)求m的值，并写出的解析式；
(2)解关于x的不等式，其中.
(3)已知，，且.求.
26．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1.
(1)求，的值及解析式；
(2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点.
27．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为.
(1)求的取值范围；
(2)当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式.
28．（23-24高二下·湖北孝感·期末）已知函数．
(1)若在上的最小值为，求的值；
(2)若函数恰有3个零点，求的取值范围．
29．（23-24高二下·广西北海·期末）已知函数
(1)证明：的定义域与值域相同；
(2)若 恒成立，求m的取值范围.
30．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数．
(1)我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：
（ⅰ）试探究函数的性质并说明理由；
（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出的草图；
(2)若，都有，求实数的取值范围．
31．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数
(1)当时， 证明: 为奇函数;
(2)当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围：
(3)当时， 证明: 为中心对称函数.
32．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，（，，）的部分图象如图所示：
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值.
33．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，讨论方程根的个数．
34．（23-24高一上·天津·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数在上的最值；
(3)若，求的值.
35．（23-24高一上·安徽·期末）已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
(1)求
(2)设函数，求的最小正周期．
36．（24-25高一下·全国·期末）设．
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)已知，且当时，求的值．
37．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如下图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)写出函数的单调递增区间；
(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域．
38．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知fx=2sinx+φφ∈−π2,π2，对任意都有，
(1)求的值：
(2)若当时方程fx+m=0有唯一实根，求的范围.
(3)已知gx=2sinx+φ2，若对任意都有ag−x−f2x>2a−12恒成立，求实数的取值范围.
39．（23-24高一下·贵州安顺·期末）如图，圆的圆心在坐标原点，半径为，动点从处开始在圆上按逆时针方向以的角速度作匀速圆周运动，则秒之后，点的纵坐标可以表示为．

(1)写出和的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围；
(3)若函数的最小正周期为，求在上的值域．
40．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记.
(1)用分别表示的长度：
(2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
41．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)关于x的方程在区间有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(3)不等式对恒成立，求实数x的取值范围．
42．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(3)若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值.
43．（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合．
(1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由
(2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值．
(3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值．
44．（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，．
(1)若集合，求和．
(2)已知，为非空的有限整数集，且．
（ⅰ）若，求集合；
（ⅱ）证明：．
45．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若且，则.
(1)若，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
（提示：）
46．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足：有两个实数根.
(1)若，求实数的取值范围;
(2)若，记在时的最小值为，求的表达式;
(3)若与都是整数且，求的值.
47．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．
(1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值；
(2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；
(3)若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．
48．（24-25高一上·山东泰安·期中）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．
(1)已知函数．
①若函数为奇函数，求实数的值；
②若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
(2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围．
49．（24-25高一上·福建漳州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数.
(1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）;
(2)当时，
①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;
②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
50．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间．
(1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
(2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围；
(3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围．
51．（24-25高二上·浙江温州·期中）定义：对函数和，，若对任意，且，均有，则称“函数与具有类性质”.
(1)判断与是否具有类性质，并说明理由；
(2)已知，
①若与具有类性质，求的取值范围；
②若与具有类性质，且，证明： 对任意，.
52．（24-25高一上·四川泸州·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
(1)用定义证明函数在上是增函数；
(2)证明函数的图象关于点对称；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得成立，求负数的取值范围.
53．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
54．（24-25高一上·河南·期中）已知函数.
(1)当时，求的值域.
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.
(3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围.
55．（24-25高一上·浙江温州·期中）设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，，常数.
(1)求的最大值；
(2)对函数，当时，，求的取值范围；
(3)设函数，若的最大值为3，求的取值范围.
56．（24-25高一上·重庆·期中）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，）
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
57．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数
(1)当时，解不等式：；
(2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
58．（24-25高一上·上海·期中）设常数，，.
(1)已知y=fx的图象过点求实数的值；
(2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围.
59．（24-25高一上·浙江·期中）当一个函数有如下性质：若在区间上有意义且该区间为的单调区间，并且此时的值域为，当时，我们就称函数为区间上的“神奇函数”．请回答下列问题：
(1)当时，是否是区间上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；
(2)当函数为区间上的“神奇函数”，求的最小值和的最大值；
(3)当时，存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，求的取值范围．
60．（24-25高一上·湖南·期中）给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”．
(1)判断是否为区间上的“函数”；
(2)若是区间上的“函数”，求的取值范围；
(3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”．
61．（24-25高三上·安徽·期中）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．
(1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；
(2)求函数的零点；
(3)解关于的不等式：
62．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知函数，且恒成立．
(1)求的值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
63．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知函数.
(1)若为的一个内角，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，对于，总成立，求实数的取值范围.
64．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数．
(1)将化成的形式；
(2)求的单调区间；
(3)若在上的值域为，求的取值范围．
65．（23-24高一下·北京西城·期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数．
(1)判断是否是好函数，证明你的结论；
(2)对任意实数，函数满足．若是好函数，
（i）当时，求；
（ii）求证：不是周期函数；
（iii）求证：是好函数．10
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