2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线x29+y24=1与曲线x29−k+y24−k=1(k0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=27，a2+a10=10，则( )
A. a1=−5B. S6=2C. Sn≥S3D. S7=a7
10.已知直线l的方程为ax−y−a=0，M(1,−1)，N(3,3)，则下列结论正确的是( )
A. 点M不可能在直线l上
B. 直线l恒过点(1,0)
C. 若点M，N到直线l的距离相等，则a=2
D. 直线l上恒存在点Q，满足MQ⋅NQ=0
11.如图，在三棱锥A−BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则( )
A. 存在a>0，b>0，使得GM=aGH+bGE
B. 不存在点M，N，使得MN⊥EH
C. |MN|的最小值为 52
D. 异面直线AG与EF所成角的余弦值为 105
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a,0,2b−3)与Q(a,0,b)关于原点O对称，则点Q的坐标为______．
13.记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1+Sn−1=2Sn+2n(n≥2)且a1=1，a2=3，则an= ______．
14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆Ω：x2a2+y2b2=1(a>b>0)及其蒙日圆O，Ω的离心率为 63，点A，B，C，D分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，AB，BC，CD，AD分别与Ω相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积的比值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设{an}为递增的等差数列，其前n项和为Sn，已知a1=6，且2S5=a32．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)求使Sn>3an成立的n的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形．PA=AB=2,AD=4,PB=2 2,PD=2 5,N为CD的中点．
(1)证明：PA⊥BN；
(2)求直线AB与平面PBN所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知F是抛物线C：y2=2px(00)的离心率为2，左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点，PF1的中点为Q，且|QF1|−|QO|=1(O为坐标原点)，A是C的右顶点，M，N是C上两点(均与点A不重合)．
(1)求C的方程；
(2)若M，N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H，证明：直线OH与直线MN的斜率之积为定值；
(3)若M，N不关于y轴对称，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0．
(1)若平面α1：x+2y−1=0，平面β1：2y−z+1=0，直线l为平面α1和平面β1的交线，求直线l的方向向量(写出一个即可)；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为α2、β2、γ，其中平面α2经过点A(4,0,0)，点B(3,1,−1)，点C(−1,5,2)，平面β2：y+z=4，平面γ：mx+(m+1)y+(m+2)z+3=0，求出点B到平面γ的距离；
(3)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}，Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.B
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.ABD
11.BCD
12.(0,0,1)
13.n2−n+1，n∈N∗
14.83
15.解：(I){an}为递增的等差数列，a1=6，且2S5=a32，
所以2×(5×6+5×42d)=(6+2d)2，
解得d=2或d=−3(舍)，
故an=6+2(n−1)=2n+4；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，Sn=6n+n(n−1)=n2+5n，
若Sn>3an，则n2+5n>6n+12，
解得n>4，
故n的最小值为5．
16.解：(1)证明：∵PA=2,PD=2 5,AD=4，
∴PD2=PA2+AD2，
∴PA⊥AD，
∵PA=AB=2,PB=2 2，
∴PB2=PA2+AB2，
∴PA⊥AB，
∵AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD，
又BN⊂平面ABCD，
∴PA⊥BN．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∴以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，N(1,4,0)，P(0,0,2)，
∴AB=(2,0,0),BN=(−1,4,0),BP=(−2,0,2)．
设平面PBN的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥BNn⊥BP，则n⋅BN=−x+4y=0n⋅BP=−2x+2z=0，
令y=1，可得x=4，z=4，
∴平面PBN的一个法向量为n=(4,1,4)．
设直线AB与平面PBN所成的角为θ，
则sinθ=|AB⋅n||AB||n|=|2×4+0×1+0×4|2× 42+12+42=4 3333，
∴直线AB与平面PBN所成角的正弦值为4 3333．
17.解：(1)因为P(x0,4)是抛物线C上一点，
所以42=2px0，
解得x0=162p=8p，
由抛物线的定义得|PQ|=8p+p2=5，
因为0