四川省成都市2023-2024学年高二(上)期末校级调研联考数学试卷（解析版）

这是一份四川省成都市2023-2024学年高二(上)期末校级调研联考数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了 已知方程等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案； 非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效； 在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则 在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，得到，
所以在上的投影向量为，
故选：B.
2. 平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切，
而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线，
又两圆圆心距离等于两圆半径和，
所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3，
故选：C
3. 设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ）
A.
B. 若A、B是互斥事件，则
C.
D. 若A、B是独立事件，则
【答案】B
【解析】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确；
选项B：若A、B是互斥事件，则，
又，则.判断错误；
选项C：因为与A对立，.判断正确；
选项D：若A、B独立事件，则.判断正确.故选：B
4. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】依题意，记，，，
则，，
则，
因为，
，
所以.故选：D.
5. 在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为（ ）．
A. 28B. 40C. 56D. 60
【答案】D
【解析】设该小矩形的面积为x，9个小矩形的总面积为1，
则其他8个小矩形的面积和为，所以，
所以，所以该组的频数为．故选：D.
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线， 垂足为P， 则为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】由已知，，，，，
如图，一条渐近线的方程为，即，，
则的斜率为，
设，由得，
所以，，
故选：B．
7. 已知抛物线的焦点为， 其上有两点， 若的中点为， 满足的斜率等于1，则的最大值是（ ）
A. 7B. 8C. D. 10
【答案】D
【解析】由题知，直线斜率存在，设直线的方程为，
，
由，消得到，
由，得到①，
由韦达定理知，，所以，
又由题知，得到②，由①②得到，即或.
由抛物线定义知，，
又由，得到，
取，将代入并化简得到，
当，
则，且，
令，
则，
由，得到，解得或（舍），
当时，，
当时，，
由时，，，所以时，，即有时，，
当时，，，
所以，得到，
所以当时，有最大值为3，
所以的最大值为，得到，
当，则，且，
令，则
因为，所以，得到，
所以，在上恒成立，此时，
则，故，综上，，

故选：D.
8. 半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为，
以球为对象分析它的受力情况：球给它的压力为，
它自身受到的重力为，
由对称性可知碗给它的支持力为，
所以，解得，
所以的最大值是.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求； 全部选对的得 5 分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知方程（m为实数） 表示的曲线C，则（ ）
A. 曲线C不可能表示一个圆
B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆
C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆
D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线
【答案】ACD
【解析】对于A项，当曲线C表示一个圆时，得，得，
显然无解，故A项正确；
对于B项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，得得，
显然无解，故B项错误；
对于C项，当曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，得得，
得，故C项正确；
对于D项，当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，得，
得，故D项正确；
故选：ACD
10. 如图,在四棱锥中,平面平面，，，若 ，，为棱的中点在，则下列说法正确的有（ ）
A. 平面
B. 二面角的余弦值为
C. 二面角的正弦值为
D. 若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则 的值为
【答案】ABD
【解析】对选项A，取中点，连接，
因为是中点，所以，且，
又，，所以，且，所以为平行四边形，
所以，又面，面，所以平面，故选项A正确，
因为，，得到，又，
所以，得到，
又平面平面，平面平面，平面，
所以面，又，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，，
则，
所以，
易知平面即为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，
得到，取，得到，
所以，
则，
由图易知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为，
故选项B正确，
对于选项C，因二面角的正弦值为，所以选项C错误，
对于选项D，设，又，得到，
所以，得到，
设到平面距离为，则，
解得，所以选项D正确，
故选：ABD.
11. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最大值为
B. 若，则的最大值为
C. 若的最小值为，则的最小值
D. 若的最小值为，则的最小值
【答案】BC
【解析】因为，所以，又，所以，如图建立平面直角坐标系，令，则，设，所以，由，得到，即，所以向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，令，当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，此时有，解得或，所以的最大值为 ，所以选项A错误，选项B正确，
取，则，过点作垂直于所在的直线于，则有，又，所以，
由抛物线的定义知，点的轨迹为以为焦点，所在直线为准线的抛物线及其内部，
设与抛物线的交点为，过点作于，则，
所以选项C正确，选项D错误，
故选：BC.
12. 已知抛物线：，过焦点的直线与交于，两点，，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】作轴于，做轴于，
所以，，抛物线的焦点，
因为，所以，即，所以直线的斜率存在设为，
可得直线的方程为，
与抛物线方程联立，
整理得，
所以，，
对于A，，，所以，故A错误；
对于B，因为，
所以
，
所以直线与的倾斜角互补，即，故B正确；
对于C，因为，所以，
即，
因为，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
，，
所以，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：BCD
三、 填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.
13. 对任意的实数,圆上一点到直线的距离的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意可知圆的圆心为，半径，
直线方程可化为，
令
解得，
所以直线过定点，
显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且，
不妨令直线过原点，将代入，此时，
设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明：
当与直线垂直时，记为直线，
当不与直线垂直且直线不经过时，记直线，
过作交于点，如下图所示，
由图可知为直角三角形，且为斜边，所以，
所以取最大值时，与直线垂直时，
故，，
但此时的方程为，即为，
此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，
所以，
故答案为：
14. 已知n个人独立解决某问题概率均为 ，且互不影响，现将这n个人分在一组，若解决这个问题概率超过 ，则n的最小值是_____
【答案】9
【解析】依题意，n个人都没有解决问题的概率为，
因此这个小组能解决问题的概率为，
于是，整理得，函数是递增的，
而，，
因此成立时，
所以n的最小值是9.
故答案为：9
15. 把椭圆 的长轴分为 2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 2023个点，F 是椭圆的一个焦点，则这 2023个点到F 的距离之和为______
【答案】
【解析】因为把椭圆的长轴分成2024等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，，，
如图：设椭圆的右焦点为，且，解得，
由椭圆的定义及椭圆的对称性得，，，
故答案为：

16. 如图,在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：
设，则，
则有，，，，，，，
设，
所以，，又因为，所以，
所以或，又因为，
所以直线的方程为：，
即，同理可得直线的方程为：，
即，
由，可得，
即，
因为，，
，
即有，，
所以点所在双曲线方程为：，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
17. 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：
（1）分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
（2）轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.
解：（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为：
；
乙厂轮胎宽度的平均值为：
；
所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194.
（2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：
，其平均数为：，
其方差为：；
乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：
，其平均数为：，
其方差：；
从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.
18. 已知圆，两点
（1）若r=8，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的截距式方程；
（2）动点满足 ，若P的轨迹与圆C有公共点，求半径r的取值范围.
解：（1）若，则.
直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，设圆心到直线距离为，
则，，解得：.
若直线l斜率不存在，则，不合题意；
若直线l斜率存在，设即，
，
解得：，
即直线l方程为：.
当时，，
故即直线l截距式方程为：或.
（2）由题：，化简得：，
即，
若P的轨迹与圆C有公共点，即圆与有公共点，
所以，解得：，
故半径r的取值范围是.
19. 设动点P 到两定点.和的距离分别为和，，使得
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围.
解：（1）在中，，，，
由余弦定理得
,
又，
所以，
即，
由双曲线的定义知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
易知，，又，
所以曲线的方程为.
（2）易知当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，
所以可设直线方程为，，
由，消得到，
因为直线与双曲线的左，右两支相交，
所以，
得到，
由韦达定理知，
又
，
因为，
又，
所以，
得到，
所以的取值范围为.
20. 如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段的中点，，，，.
（1）求证：平面
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
解：（1）取中点，连接，
，，，，
所以且，所以四边形为正方形，
则，得到，所以，
又平面平面，平面平面，面，
所以面，又面，所以，
易知，所以，
又四边形为矩形，且为线段的中点，
所以，
得到，故，
又，面，所以平面.
（2）因为，又平面平面，平面平面，面，
所以面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
又，，，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，由，
得到，取，得到，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，即直线与平面所成角的余弦值为.
21. 已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
（1）求抛物线焦点的轨迹C的方程；
（2）已知,设x轴上一定点，过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.
解：（1）如图，是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，
设是以为准线的抛物线的焦点，
则，，
所以，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，
，则，因此，
所以抛物线的焦点轨迹方程为；

（2）由题意设直线的方程为，
设，
由
得，
，，
代入，，
得
为常数．

22. 已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.
解：（1）易知直线，直线斜率均存在，且不为，设，，，
由，消得到，由韦达定理得到，
所以，得到，
同理可得，，
所以，
故直线为，又直线过定点，
所以，得到，故，
所以抛物线的方程为.
（2）（i）因为，
则，又，
所以，
同理可得，
由，消得到，
又由（1）知，所以，
故点在定直线上，
（ii）过点作轴，交直线于点，
则面积为，由，，
知，当且仅当时，取等号，
下证，
由抛物线的对称性，
不妨设，则，
当时，，则点在轴左侧，点也在轴左侧，有，
又直线过定点，此时，
同理，当时，，则点在轴右侧，点也在轴右侧，
有，则，
当且仅当时，，，故恒成立
所以，当且仅当时，取等号.