湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11 月期中考试数学试卷（原卷版）-A4

这是一份湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11 月期中考试数学试卷（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后， 将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上， 并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答： 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内， 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后， 将答题卡上交.
一、单选题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 的定义域为 ，设 的导函数是 ，且恒成立， 则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知为单位向量，向量在向量上投影向量是，且，则的值为（ ）
A. 2B. 0
C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（ ）
A. B.
C D. 5
7. 已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列 为等比数列B. 数列 为等比数列
C. D.
8. 已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则（ ）
A. -1012B. -506
C. 506D. 1012
二、多选题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项 符合题目要求.全部选对得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 点曲线上
C. 为定值
D. 当且仅当点与点重合时，取最小值
11. 设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示：
注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 和 互余D. 和 互补
三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 函数的值域是 .
13. 已知圆 ，点 在直线 上运动，以线段为直径的圆与圆相交于 两点，则直线 过定点______.
14. 在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为______.
四、解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分.解答过程应写出文字说明， 证明过程或演算 步骤.
15. 锐角 的三个内角是 ，满足 ， 的外接圆的圆心为 ，半径是 1 .
（1）求角 大小及 的值；
（2）求 的取值范围.
16. 已知函数 ，设 表示 的最大值，记 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）当 x>0 时， ，求 取值范围.
17. 设是的边上一点，沿将 翻折至的位置 (不在平面内)，是线段上的一个动点，且 .
（1）如图 1，若平面，求证：直线与平面所成的角以及与平面所成的角之和不可能超过；
（2）如图 2，若，是的中点，平面平面.是否存在，使得三棱锥的体积是? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 不与椭圆的顶点重合）.
（1）求 的标准方程；
（2）若以 AB 为直径的圆经过原点，求证： 直线 与圆 相切；
（3）若动直线 过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 AD 与 轴的交点为 ，求 面积的最大值.
19. 设，集合 .对于 ，记 .
（1）若 ，证明： ；
（2）若 和 都为奇数，证明： 为偶数；
夹角
0
0