江苏省南京民办求真中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试卷-A4

这是一份江苏省南京民办求真中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试卷-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
2．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点
C，D．下列不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．AC⊥PQC．△ABO≌△CDO D．AC∥BD
3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A＝∠B﹣∠CD．a：b：c＝8：15：17
4．按照下列各图所示的折叠过程，线段AD是△ABC中线的是（ ）

A. B. C. D.
5．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（ ）
A．12cm≤l≤15cmB．9cm≤l≤12cm
C．10cm≤l≤15cmD．10cm≤l≤12cm

（第2题） （第5题） （第7题） （第8题）
6．已知在△ABC中∠B＝30°，AB＝8，下列AC的长度能够使△ABC唯一确定的是（ ）
A．3B．6C．7D．9
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）
7. 如图，为了使旧木门不变形，木工在门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 ．
8. 如图，已知AB＝AC，请再添加一个条件 ，使△ABE≌△ACD（不添加辅助线或点）．
9. 已知等腰三角形的周长是10，一边长是4，则等腰三角形的腰长为 ．
10. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长为 cm．
（第10题） （第12题） （第13题）
11. 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为 ．
12. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数为 ．
13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB的长为 ．
14. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大12°，则∠1的度数为 ．
15. 如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为 ．

（第14题） （第15题） （第16题）
16. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②△ABD是等边三角形，③AC平分∠BAD，④∠BCD的度数为120°，其中正确的结论为 ．（填序号）
三、解答题（本题共10小题，共68分）
17．（6分）如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AD与BC交于O，AD＝BC，求证：OD＝OC．
18．（6分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）△ABC的面积为_______；
（2）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小．
19．（6分）如图所示的一块草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，
若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？
20．（6分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，
且∠DCE＝90°，连接AE．
（1）求证：△CEA≌△CDB；
（2）求证：BD2+AD2＝DE2．
21．（6分）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、
DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，则∠DME的度数为 ．
22．（6分）如果三角形三边长a、b、c满足a+b+c3=b，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、c（a＜c）．
（1）用含有a和c的代数式表示b，b＝ ．
（2）求作均匀三角形ABC，使得最短边AB＝a、最长边BC＝c（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等．
23．（6分）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2＝c2. 设（a，b，c）为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1 表2
（1）根据表1的规律写出勾股数（11， ， ）；
观察可得：表1中b、c与a2之间的关系是 ；（填勾股定理不得分）
（2）根据表2的规律写出勾股数（16， ， ）；
观察可得：表2中b、c与a2之间的关系是 ；（填勾股定理不得分）
（3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是
多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42=52）
24．（8分）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD、BE所在直线的交点．
（1）求证：BH＝AC；
（2）如图2，若∠A改成钝角后，结论BH＝AC还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成
立，请说明理由．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝ ；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上且不与点B重合，求此时t的值；
备用图
（3）在点P的运动过程中，当△ACP为等腰三角形时，t的值为 ．
26．（10分）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
我们可以把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．
于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．

（1）【感知】
①如图2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，则∠C′DB＝ °．
②如图2，在△ABC中，若∠C＝2∠B，求证：AB-AC＝CD；
（2）【探究】
若将图2中AD是角平分线的条件改成AD是高线，其他条件不变（如图3），即在△ABC中，
∠C＝2∠B，AD⊥BC，请探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展】
如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C′．若以B、C、C′为顶点的三角形是直角三角形，则BP的长度为 ．
2024-2025学年第一学期期中测试
八年级 数学
知识点
答案解析
一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）
三、解答题（本题共10小题，共68分）
17．（6分）如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AD与BC交于O，AD＝BC，求证：OD＝OC．
证明：∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BAAD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DAB＝∠CBA，
∴OA＝OB，
∴OC＝OD．
18．（2+2+2=6分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）△ABC的面积为____3___；
（2）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小．
19．（6分）如图所示的一块草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，
若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？
解：连接AC，
根据勾股定理，得AC=AD2+CD2=15m．
在△ABC中，AB2＝1521＝BC2+AC2＝1296+225＝1521，
∴△ABC是直角三角形，
∴S草坪=S△ABC-S△ACD=12BC⋅AC-12CD⋅AD
=12×36×15-12×9×12
＝216（m2），
则铺这块草坪共需花费216×40＝8640（元）．
答：铺这块草坪共需要花费8640元．
20．（3+3=6分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，
且∠DCE＝90°，连接AE．
（1）求证：△CEA≌△CDB；（2）求证：BD2+AD2＝DE2．
证明：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△CDB与△CEA中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=CD，
∴△CDB≌△CEA（SAS）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
由（1）得△CDB≌△CEA，
∴∠EAC＝∠B＝45°，BD=AE
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2
∴BD2+AD2＝DE2
21．（4+2=6分）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、
DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，则∠DME的度数为 ．
（1）证明：如图，连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=12BC，ME=12BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，
∴180°﹣∠A＝120°，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．
22．（2+2+2=6分）如果三角形三边长a、b、c满足a+b+c3=b，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、c（a＜c）．
（1）用含有a和c的代数式表示b，b＝ ．
（2）求作均匀三角形ABC，使得最短边AB＝a、最长边BC＝c（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等．
解：（1）∵a+b+c3=b，
∴b=a+c2，
故答案为：a+c2；
（2）如图所示，△ABC为所求作的三角形，
（3）如图所示，点P即为所求．
23．（6分）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2＝c2. 设（a，b，c）为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1 表2
（1）根据表1的规律写出勾股数（11， 60 ， 61 ）；
观察可得：表1中b、c与a2之间的关系是 a2＝b+c ；
（2）根据表2的规律写出勾股数（16， 63 ， 65 ）；
观察可得：表2中b、c与a2之间的关系是 12a2＝b+c ；
（3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是
多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42=52）
172+1442=1452或242+1432+=1452
24．（4+4=8分）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD、BE所在直线的交点．
（1）求证：BH＝AC；
（2）如图2，若∠A改成钝角后，结论BH＝AC还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成
立，请说明理由．
（1）证明：∵∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC．
∵∠ABC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD＝BD．
在△BDH和△ADC中
∠EBC=∠DACBD=AD∠BDH=∠ADC
∴△BDH≌△ADC（ASA）．
∴BH＝AC．
（2）解：如图，HB＝AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
又∵∠HAE＝∠DAC，
∴∠H＝∠C．
∵∠ABC＝45°，∠ADB＝90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD＝BD．
在△BDH和△ADC中
∠H=∠C∠HDB=∠CDABD=AD
∴△BDH≌△ADC（AAS）．
∴BH＝AC．
25．（2+2+4=8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝ ；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上且不与点B重合，求此时t的值；
（3）在点P的运动过程中，当△ACP为等腰三角形时，t的值为 ．
解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得x=258，∴BP=258，
∴t=AB+BP2=5+2582=6516．
故答案为：6516．
（2）如图，过P作PD⊥AB于D，
∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，
∴PD＝PC，BC＝BD＝4，
∴AD＝5﹣4＝1，
设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，
在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，
∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y=43，∴CP=43，
∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，
当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，
此时，t=AB2=52．
综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．
（3）分四种情况：
①如图，当P在AB上且AP＝CP时，
∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠B＝∠BCP，
∴CP＝BP，
∴P是AB的中点，即AP=12AB=52，
∴t=AP2=54．
②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，
t=AP2=32．
③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD=AC⋅BCAB=125，
∴Rt△ACD中，AD=95，
∴AP＝2AD=185，
∴t=AP2=95．
④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，
∴t=AB+BP2=62=3．
综上所述，当t=54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．
故答案为：54或32或95或3．
26．（2+3+3+2=10分）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
我们可以把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．
于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．
（1）【感知】
①如图2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，则∠C′DB＝ °．
②如图2，在△ABC中，若∠C＝2∠B，求证：AB-AC＝CD；
（1）①解：∵AC沿∠A的平分线AD翻折，
∴∠AC′D＝∠C＝70°，
∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∠B＝35°，
∴∠C′DB＝35°，
故答案为：35；
②证明：∵AC沿∠A的平分线AD翻折，
∴△AC′D≌△ACD，
∴∠AC′D＝∠C，AC′＝AC，C′D＝CD．
∵∠C＝2∠B，
∴∠AC′D＝2∠B．
∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，
∴∠C′DB＝∠B，
∴C′D＝C′B．
∵AB﹣AC＝AB﹣AC′＝C′B，
∴AB﹣AC＝C′D，
∴AB﹣AC＝CD；
（2）【探究】
若将图2中AD是角平分线的条件改成AD是高线，其他条件不变（如图3），即在△ABC中，
∠C＝2∠B，AD⊥BC，请探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．
（2）解：线段AC、BC、CD之间的等量关系为：BC＝AC+2CD，理由：
在线段BD上取一点E，使DE＝DC，连接AE，如图，
∵DE＝DC，AD⊥BC，
∴AD为DE的垂直平分线，
∴AE＝AC，∠AEC＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝2∠B．
∵∠AEC＝∠B+∠EAB，
∴∠B＝∠EAB，
∴BE＝AE，
∴BE＝AC．
∴BC＝BE+ED+DC＝AC+2DC，即BC＝AC+2CD；
（3）【拓展】
如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C′．若以B、C、C′为顶点的三角形是直角三角形，则BP的长度为 ．
（3）解：若以B、C、C′为顶点的三角形是直角三角形，BP的长度为32或2，理由：
①当∠C′BC＝90°时，
过点C′作C′D⊥AC于点D，如图，
∵将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C′，
∴AC′＝AC＝5，PC′＝PC，
∵∠C′BC＝90°，∠ACB＝90°，∠CDC′＝90°，
∴四边形BCDC′为矩形，
∴BC′＝CD，C′D＝BC＝4，
∴AD=AC'2-C'D2=52-42=3，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
∴C′B＝2．
设BP＝x，则PC＝BC﹣BP＝4﹣x，
∴C′P＝4﹣x．
在Rt△BPC′中，
∵BP2+BC′2＝C′P2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得：x=32；
②当∠BC′C＝90°时，如图，
∵将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C′，
∴PC′＝PC，∠AC′P＝∠ACP＝90°，
∴∠PC′C＝∠PCC′，
∵∠C′BC+∠PCC′＝90°，∠PC′C+∠PC′B＝90°，
∴∠CBC′＝∠PC′B，
∴PC′＝PB，
∴BP＝PC，∴BP=12BC＝2，
综上，BP的长度为2或32，
a
b
c
a
b
c
3
4
5
6
8
10
5
12
13
8
15
17
7
24
25
10
24
26
9
40
41
12
35
37
1
轴对称图形
2
轴对称的性质；全等三角形的判定
3
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
4
翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高
5
勾股定理的应用
6
作图—基本作图；含30度角的直角三角形
7
三角形的稳定性
8
全等三角形的判定
9
等腰三角形的性质；三角形三边关系
10
线段垂直平分线的性质
11
勾股定理
12
等腰三角形的性质
13
含30度角的直角三角形
14
平行线的性质
15
等腰直角三角形；构造全等
16
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
17
全等三角形的判定与性质
18
作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题
19
勾股定理的应用；勾股定理的逆定理
20
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
21
直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质
22
复杂作图；列代数式；三角形三边关系；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
23
勾股数
24
全等三角形的判定与性质
25
三角形综合题；轴对称；勾股方程
26
几何变换综合题；全等；轴对称；勾股方程
1
2
3
4
5
6
D
A
B
C
A
D
7
三角形具有稳定性
12
80°
8
AD＝AE（答案不唯一）
13
8
9
3或4
14
68°
10
17
15
16
11
245
16
①②③
a
b
c
a
b
c
3
4
5
6
8
10
5
12
13
8
15
17
7
24
25
10
24
26
9
40
41
12
35
37