新高考数学一轮复习巩固练习解三角形、数列冲刺练（3）（2份，原卷版+含答案解析）

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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A； (2)若b=2，c=4，求△ABC的BC边上的中线AD的长．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2acsAcsC+2ccs2A.
(1)求角A； (2)若a=4，求c−2b的取值范围.
3．如图在平面四边形ABCD中，AC=7，AB=3，∠DAC=∠BAC，sin∠BAC=2114．
(1)求边BC； (2)若∠CDA=2π3，求四边形ABCD的面积．
4．在等差数列{an}中，已知 a1+a2+a3=18且a4+a5+a6=54．
(1)求{an}的通项公式； (2)设bn=4an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
5．已知数列an，且a1=2，an+1=2an−1，n∈N∗.
(1)求an的通项公式； (2)设bn=nan−1，若bn的前n项和为Tn，求Tn.
6．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,2Snn=an+1−1．
(1)求数列an的通项公式； (2)若数列Cn=2n,n为奇数,2n+3,n为偶数,，求数列Cn的前2n项和T2n．
参考答案
1．【详解】（1）解：（1）若选①，即cs2A=cs(B+C)，得2cs2A−1=−csA，
∴2cs2A+csA−1=0，∴csA=12或csA=−1（舍去），
∵A∈(0,π)，∴A=π3；
若选②：asinC=3ccsA，
由正弦定理，得sinAsinC=3sinCcsA，
∵A，C∈(0,π)，∴sinC>0，则sinA=3csA，∴tanA=3，∴A=π3；
（2）解：AD是△ABC的BC边上的中线，∴ AD=12(AB+AC)，
∴ AD2=14(AB+AC)2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)
=14AB2+2AB⋅AC+AC2
=14(c2+2c⋅bcsπ3+b2)，
=14(42+2×4×2×csπ3+22)=7，
∴AD=7．
2．【详解】（1）解：因为b=2acsAcsC+2ccs2A，
由正弦定理得sinB=2sinAcsAcsC+2sinCcs2A，
即sinB=2csAsinAcsC+sinCcsA，
即sinB=2csAsinA+C，
因为A+B+C=π，所以A+C=π−B，
所以sinB=2csAsinB.
因为B∈0,π，所以sinB≠0，
所以csA=12，因为A∈0,π，所以A=π3.
（2）解：由正弦定理得asinA=833，
所以c−2b=833sinC−2sinB=833sinπ−π3−B−2sinB
=83332csB−32sinB=8csBcsπ3−csBsinπ3，
所以c−2b=8csB+π3.
因为B∈0,2π3，所以B+π3∈π3,π，所以csB+π3∈−1,12，
所以c−2b∈−8,4.
3．【详解】（1）因为sin∠BAC=2114，∠BAC为锐角，
所以cs∠BAC=1−21142=5714．
因为AC=7，AB=3，在△ABC中，
由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs∠BAC，
即BC2=7+9−2×7×3×5714=1，得BC=1．
（2）在△ADC中，由正弦定理得CDsin∠DAC=ACsin∠ADC，
即CD2114=732，所以CD=1．
在△ADC中，由余弦定理得cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD，
即−12=AD2+1−72AD，解得AD=2．
因为S△ABC=12×7×3×2114=334，S△ACD=12×1×2×sin2π3=32，
所以SABCD=S△ABC+S△ACD=334+32=534．
4．【详解】（1）解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则3a1+3d=18,3a1+12d=54， 解得a1=2,d=4
∴ an=2+4(n−1)=4n−2,n∈N∗；
（2）解：∵bn=4an⋅an+1=44n−24n+2=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，∴Sn=121−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1.
5．【详解】（1）因为an+1=2an−1，所以an+1−1=2an−2=2an−1，
其中a1−1=2−1=1，故an−1是首项为1，公比为2的等比数列，
故an−1=2n−1，所以an=2n−1+1；
（2）bn=nan−1=n⋅2n−1，
所以Tn=20+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1①，
故2Tn=2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n②，
两式相减得，−Tn=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n⋅2n−1，
故Tn=n−12n+1.
6．【详解】（1）因为2Snn=an+1−1，所以2Sn=nan+1−n，①
当n≥2时，2Sn−1=(n−1)an−(n−1)，②
①-②得：2an=nan+1−(n−1)an−1，即nan+1−(n+1)an=1，
所以an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以ann−a22=12−1n，由a2=3，可得an=2n−1，
当n=1时，a1=1，符合上式，
所以an=2n−1．
（2）由题意得，Cn=2n,n为奇数,2n+3,n为偶数,
则T2n=C1+C3+⋯+C2n−1+C2+C4+⋯+C2n
=21−4n1−4+n(7+4n+3)2=234n−1+2n2+5n，
所以T2n=234n−1+2n2+5n．