重庆市2023_2024学年高三数学上学期周考试题四

这是一份重庆市2023_2024学年高三数学上学期周考试题四，共8页。试卷主要包含了已知集合，则满足的实数的个数为，已知复数满足，则的模为，有一组样本数据，则，已知函数，若，则的取值范围是，已知，则等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的模为（ ）
A．1B．2C．5D．
3．有一组样本数据，则（ ）
A．这组样本数据的极差不小于4B．这组样本数据的平均数不小于4
C．这组样本数据的中位数不小于3D．这组样本数据的众数等于3
4．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列的首项 ，前项和为，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数在区间上是增函数
D．过点的图象的切线有且只有1条
8．已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（ ）
A．-2B．-8C．-1D．0
二、多选题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）。
9．已知函数，直线为图象的一条对称轴，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为B．
C．的图象关于点对称D．的图象关于点对称
10．已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（ ）
A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形
C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．当，分别为棱，的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行
C．直线与平面所成角的正切值的最小值为
D．当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为五边形
12．已知函数，则（ ）
A．的图象关于y轴对称B．在上单调递增
C．的最大值为D．没有最小值
三、填空题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分）。
13．已知等差数列的前n项和为，且，则.
14．已知，满足，，则.
15．有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件、则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为．
16．已知函数有三个零点，且它们的和为0，则的取值范围是.
四、解答题（本题共有6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
17．在平面四边形ABCD中，
(1)若，求；
(2)若求.
18．随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图：

根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：
(1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
(2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论）
19．已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足，求的前项和.
20．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求二面角的正弦值.
21．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
22．已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数a的取值范围．
开州中学高2024届数学周考试卷（四）参考答案
1-4．BDAC 5-8．BBCA 9．ABD 10．ABD 11．ACD 12．AC 13．0 14． 15． 16． 17．（1）在中，，所以，所以，在中，由余弦定理得.因为，解得.（2）如图所示： 设，则，在中，因为，所以，在中，，
由正弦定理，得，即，所以，即，整理得，所以，即.
18．（1）解：甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为：，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．（2）解：由题知：甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，
乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，所以，随机变量ξ的取值为，1，2．所以，，，．
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为
（3）解：由甲乙大学的频率分布直方图可知，乙大学的学生每天学习“中华诗词”的时间相对较长，且集中，所以，；
19． （1）由，得，，，，，则是首项为4，公比为2的等比数列，由是首项为4，公比为2的等比数列，则，，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，，则；
（2），
则
.
20．（1）因为，，，所以，，，因为，所以，因二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.
（2）
取的中点，在上取点使，
由得，，故，，
又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故如图建立空间直角坐标系，由得，故，又，，则，故，，，，则，，由题知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，得，令，得，，，设二面角的平面角为，则，故，即二面角的正弦值为.
21． （1）由题意得，设椭圆右焦点坐标为，设椭圆上一点，，则，故，
，因为，所以，，故，故椭圆上的点到又焦点的最小距离是，所以，联立与，解得，故，
故椭圆的方程为．
（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，
设，，则，两式相减得，得，即，直线方程为，即．所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为．
22．（1）若，则，的定义域是．
．令，则．
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，所以当时，恒成立，当且仅当时等号成立．所以的单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）的定义域为，．由（1）得，当时，，即；当时，，即．所以当时，．因此，当时，．①
（ⅰ）若，则当时，由①可得．所以在上单调递减，
故不可能为的极小值点．
（ⅱ）若，当时，，所以，则由①可得；当时，，设，
则，
所以在区间上单调递增，从而．故在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点．综上所述，a的取值范围为．
学习时间：（分钟/天）
等级
一般
爱好
痴迷
0
1
2