江苏省宿迁市泗阳县2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份江苏省宿迁市泗阳县2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过，两点的直线的斜率是（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接代入直线斜率公式即可.
【详解】经过，两点的直线的斜率是.
故选：B.
2. 直线：，：，若，则实数的值为（）
A. B. 1C. 或1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知得出，求解得出值，代入的方程检验，即可得出答案.
【详解】由可得，，即，
解得或.
当时，方程为，方程为不重合，满足；
当时，方程为，方程为，即，与重合，舍去.
综上所述，.
故选：A.
3. 圆：与圆：的公切线条数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两圆的标准方程，判断出两圆的位置关系，即可得出结果.
【详解】因为圆：的圆心为，，
圆：的圆心为，，
所以，可得，故圆与圆相交，
所以圆与圆的公切线条数为2条，
故选：B.
4. 双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得.
【详解】由可得：又因故有而双曲线：
的渐近线方程为即：
故选：D.
5. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆面积公式求得关于a,b的关系式，结合等边三角形性质可得a,b的基本关系，联立方程即可求解.
【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①，
又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②，
联立①②得：，
故椭圆的方程为.
故选：A
6. 圆上的点到直线的距离的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
则点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：B
7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.
【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等，
所以点在直线上，
当时，点到坐标原点距离的最小，
故选：C
8. 椭圆：长轴的左右两个端点分别是，，点满足，则面积的最大值为（）
A. 40B. 44C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，设，则由可得，从而可求得，进而可求出面积的最大值.
【详解】由，得，则，
所以，则，设，
所以,
因为，所以，
所以，
化简得，即，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以面积的最大值为40，
故选：A
二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的有（）
A. 直线的点斜式方程可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线关于点对称的直线方程是
D. 直线：与：之间的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线关于点对称的直线方程是，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D.
【详解】直线的点斜式方程不表示直线，故A不正确；
由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为，故B正确；
设直线关于点对称的直线方程是，
由点到两直线的距离相等得，解得，
则直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
直线：即，与：之间的距离为，故D不正确.
故选：BC.
10. 已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等，
因此直线存在斜率，设直线的方程为，即，
若点和点到直线的距离相等，
则，即，解得或，
∴直线的方程为或.
故选：BC.
11. 我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线：是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（）
A. B. 顶点到渐近线的距离为
C. D. 的外接圆的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据离心率求出，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可.
【详解】因为，所以，解得；
对于A，，A正确；
对于B，渐近线的方程为，右顶点到渐近线的距离为，B不正确；
对于C，设双曲线的焦距为，由得，，
因为，所以，C正确；
对于D，由可知，的外接圆的半径为，
所以面积为，D正确.
故选：ACD.
12. 已知圆：，则下列结论中正确的有（）
A. 圆过定点B. 点在圆外
C. 直线平分圆周D. 存在实数，使圆与轴相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，将圆的方程化简得到，再由即可求出圆过点；
选项B，利用点与圆位置关系的判断方法即可判断出选项的正误；
选项C，根据条件，可得圆心在直线上，从而可判断出选项C的正误；
选项D，根据条件可得，从而求出，即可解决问题.
【详解】对于选项A，由，得到，
整理得到，
由，得到或，故圆过定点和，所以选项A正确；
对于选项B，因为圆心为，，
点到圆心的距离，
又因为，当时，，此时点在圆内，所以选项B错误；
对于选项C，因为圆心为，又，即圆心在直线上，所以选项C正确；
对于选项D，若圆与轴相切，则有，即，解得或，所以选项D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【详解】
设直线的倾斜角为直线，直线的斜率为，即，，故答案为.
14. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知列出不等式组，求解不等式组，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，解得.
故答案为：.
15. 已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果.
【详解】设，如下图，
因为为圆的切线，
所以，所以，
所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为，
因为，所以，
所以经过四点的圆的方程为，
显然与的相交弦为，
所以所在直线的方程为，
即为，
故答案为：.
16. 已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，，，.
如图，设双曲线左焦点为，
因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
所以，.
由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.
又，所以，
所以，有最小值，
即有最小值.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线过点，直线：．
（1）若直线，求直线的方程；
（2）若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解.
（2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解.
【小问1详解】
因为直线,
所以，即,
因为，所以，即，
从而直线的方程为：即;
【小问2详解】
设点关于直线的对称点为，
，解得：，
入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为，
即.
18. 已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，．
（1）求实数的值；
（2）当时，求过点并与圆相切的直线方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果；
（2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解.
【小问1详解】
因为圆的半径，，
所以圆心到直线的距离，
所以，所以，
所以或.
【小问2详解】
因为，所以，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
圆心到的距离为，所以与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，
所以，所以直线方程为，
所以过点并与圆相切直线方程为或.
19. 设为实数，直线．
（1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标；
（2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点；
（2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解.
【小问1详解】
因为直线，
所以，对恒成立，
从而由，解得，从而直线过定点.
【小问2详解】
由题意设，
因为直线过定点，所以，
与两坐标轴的正半轴的截距之和为，
，当且仅当，
即时等号成立，
从而的方程为，即.
20. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；
（2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.
【小问1详解】
法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,
则有所以,
故的方程为.
法二设的坐标为则有,
所以.
即, 所以方程为.
【小问2详解】
法一设方程为，
因为，所以，即.
所以，即；
由得，
所以.
所以，即，所以；
所以方程为，
故恒过定点.
法二设，因为，所以；
所以，所以
所以的方程为，
整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
21. 已知双曲线经过点，两个焦点在轴上，离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，点关于轴对称点为，点关于轴对称点为，设直线的斜率为，请问与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）设双曲线的标准方程为，由待定系数法列方程组求解；
（2）法一：由题可得，可得的表达式，结合作差可得结论；
法二：由题可得，设直线方程为，所以，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，可得结论.
【小问1详解】
设双曲线的标准方程为，
双曲线经过点，则有，
因为，所以，即.
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
法一：由题可得，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
所以与的乘积为定值，定值为.
法二：由题可得，
设直线方程为，则，
所以，所以，
由，得，
所以，
所以，即，所以，
所以与的乘积为定值，定值为.
22. 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质直接求即可；
（2）分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果.
【小问1详解】
设
因为过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8
所以则有
所以
所以
所以的方程为
【小问2详解】
斜率不存在时.方程为，方程为则有
所以
斜率为时.方程为，此时无法构成，不符合题意；
斜率存在且不为时.设方程为
则方程为
所以
由
得
所以
所以
同理，设
代入并化简可得.
所以
即...
令则
即
所以此时当时，面积最小，
【点睛】本题计算量较大，属于弦长问题；第一问直接由椭圆的定义可得；第二问需要分类讨论斜率不存在，等于零，不等于零三种情况，再由弦长公式得到面积的表达式，最后得出结果.