湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A．1B．2C．D．5
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）
A．平均数B．第50百分位数C．极差D．众数
4．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数 QUOTE 是减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．已知直线与圆，则（ ）
A．直线过定点B．圆的半径为4
C．直线与圆一定相交D．圆心到直线的距离的最大值是1
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称
C．在区间上的零点个数为4D．的最大值为
11．已知正方体的棱长为3，为正方体表面上的一个动点，为线段上的动点，．则下列说法正确的是（ ）
A．当点在侧面（含边界）内时，为定值
B．当点在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为
C．当点在侧面（含边界）内时，对任意点，总存在点，使得
D．点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，常数项为__________．
13．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为__________．
14．已知函数，满足，且，则 QUOTE 的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分
15．（本题满分13分）已知内角的对边分别为，，且．
（1）求边的值；
（2）若为边的中点，，求的面积．
16．（本题满分15分）已知数列满足 QUOTE ，
（1）求证：数列 QUOTE 是等差数列；
（2）令， QUOTE 求数列的前的和．
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，为棱的中点，求证：平面平面．
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分17分）已知函数
（1）求的单调性;
（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：
19．（本题满分17分）黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁．每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分．假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
答案
选择题
三、填空题
12． 6 13． 14． 9
四、解答题
15．解：（1）因为，
由正弦定理得：，且，
所以．
（2）延长至点，满足，连接，在中，
由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以
所以．
16．（1）略
（2）
17．（1）因为分别是的中点，所以//，
在矩形中，，所以，
又平面，平面，所以平面．
又是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
因为，，平面，
所以平面平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意．
在等边三角形中，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以是四棱锥的高．
设，则，，
所以，所以．
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以．
设，
所以．
设平面的一个法向量为，
则
所以取．
又平面的一个法向量为，
所以，
因为，所以，
所以存在点，位于的靠近点的三等分点处满足题意．
18．（1）∵，
，
当时，恒成立，
当时，令，解得，
令，解得，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：（2）∵有两个不相同的零点，
∴由（1）知，，
，
，
，
∴
，
不妨设，令，则．
构造函数，则恒成立，
∴在上单调递增，
则，
∴成立．
19． 由题意得，随机变量的可能取值为2，3，4，
可得，，．
所以的分布列如下表所示：
所以，数学期望为．
【小问2解析】
由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，
所以，
则，
由两式相减，可得，，
所以．
【小问3解析】
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
因为，
所以，即，
因为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
A
C
D
D
C
B
ACD
ABD
ACD
2
3
4