上海市虹口区2024-2025学年高三上学期一模考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份上海市虹口区2024-2025学年高三上学期一模考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了 12， 本考试分设试卷和答题纸， 6， 10， 连接交于点，连接．等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的
相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．已知集合，，则．
2．函数的定义域是________．
3．若，则______．
4．在的二项展开式中，项的系数为______．
5．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为________．
6．若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．(结果保留)
7．已知非零复数满足，，则的虚部为______．
8．已知则的解集是______．
第9题图
9．如图，已知正三角形和正方形的边长均为，且二面角的大小为，则_______．
10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为______．
11． 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为，且在照片上飞船船体长度为，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了．假设该记者连按拍照键间的反应时间为，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为________．（用含有、、、的式子表示）
12．已知项数为的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足，.若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
14．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
15．已知边长为的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为，若空间中的动点满足，、、，则点的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）．
A． B． C． D．
16．设数列的前四项分别为、、、，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
① 存在等比数列以及锐角，使成立．
② 对任意等差数列以及锐角，均不能使成立．
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
设．
(1) 当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
(2) 若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
(1) 求证：∥平面；
第18题图
(2) 若底面为梯形，∥，，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．
19．(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第2小题6分)
2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为、、、、共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．


第19题图1 第19题图2
(1) 求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
(2) 若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
(3) 已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．
(1) 当时，求的值；
(2) 若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 )
设，.若函数满足恒成立，则称函数具有性质．
(1) 判断是否具有性质，并说明理由；
(2) 设，若函数具有性质，求实数的取值范围；
(3)设函数的定义域为，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数均具有性质．
参考答案
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13122
13. C 14. B 15. A 16. A
17. （1）因为函数的最小正周期为，所以． 2分
故．4分
由于，所以，
故当，即时，取到最大值．6分
（2）当，所以．
故当时，，即，
由于为锐角，解得．8分
因为，可得．10分
所以．12分
等号当且仅当时成立，此时的最小值为． 14分
18. （1）连接交于点，连接．
由于是四棱柱且平面，故四边形为矩形，所以点为的中点，即与平行，且．2分
由于与平行，且，故与平行且相等，故四边形为平行四边形，所以与平行．4分
因为不在平面上，在平面上， 6分
所以平面．
（2）由于异面直线与所成角为且与平行，为与所成角（或其补角），所以，即． 8分
以点为原点，分别以、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，．10分
设为平面的一个法向量，
则，取，可得．12分
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．14分
19. （1），2分
所以第35百分位数为第7位和第8位数的平均数，故为68． 4分
（2）这20名观众有2名的评分大于等于90分，18名的评分小于90分．6分
所以至少有1人的评分大于等于90分的概率为．8分
（3）由于分层抽样，故可得上的频率为，上的频率为．
故评分位于上的频数为，位于上的频数为．10分
所以设这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，每个评分设为，；位于上的均值为73，方差为134.6，位于上的均值为与方差，每个评分设为，．
所以，解得．12分
，
即，解得．14分
所以位于上的均值为，方差为．
20. （1）当时，．2分
故． 4分
（2）若存在这样的点，
由题可知，点到直线的距离．6分
故点为与直线相距且与直线平行的直线与椭圆的交点．
直线，设，则，
解得或者．8分
当时，，解得或；
当时，，方程组无解，
所以存在这样的点，且坐标为或．10分
（3）由题可知，直线的斜率必存在且不为零，设．
则，化简得（*），
设，，故．12分
因为，
由于，可得．14分
取线段的中点，有．
所以点的坐标为，
故，化简得，有．16分
由于方程（*）有两个不同的解，故，
代入化简得，故．18分
21. （1）记显然是偶函数.
当时，，故，2分
所以对恒成立，具有性质.4分
（2）,
当时，严格增；当时，严格减.6分
函数具有性质，故对恒成立.
若，则，函数在上严格增，恒成立，
此时函数具有性质.
若，则函数在上严格减，，
故函数不具有性质. 8分
若，则函数在上严格增，“对恒成立”等价于“对恒成立”.而在上严格减，在上严格增，故，即，即.
综上，的取值范围是.10分
（3）对任意及，都有，即对任意都有（*）. 12分
假设存在使得不具有性质，则存在使得.
若，则.
当时，则在（*）中取，对任意有
，于是
，即. 14分
而当时，，，故有
，矛盾. 16分
当时，记，则，由（*）知
，得，
故. 18分
与当时同理，可得矛盾.
若，则，与时同理，可得矛盾.
综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质.