第16课时 二次函数的综合应用 -【备战2025】2025年中考数学一轮专题复习强化练习（含答案）

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A.2B.3
C.4D.5
2.(2024·石家庄模拟)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧).
(1)n= .
(2)若点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为 .
3.(2024·通辽)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-32x+3与x轴,y轴分别交于点C,D,抛物线y=-14(x-2)2+k(k为常数)经过点D且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线表示的函数解析式.
(2)若点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP,求四边形ACPD的面积.
4.(2024·邯郸邯山区二模)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(1,2),点B(4,2),∠ABC=30°,抛物线L:y=
-12(x-t)2+t(t>0)的顶点为M,与y轴的交点为N.
(1)抛物线有可能经过点A吗?请说明理由.
(2)设点N的纵坐标为yN,直接写出yN与t的函数关系式,并求yN的最大值.
(3)在L的位置随t的值变化而变化的过程中,直接写出点M在△ABC内部所经过路线的长.
1.(2024·衡水桃城区二模)如图是某山坡的截面示意图,坡顶PA距x轴(水平)5 m,与y轴交于点P,与坡AB交于点A,且AP=2,坡AB可以近似看作双曲线y=kx的一部分.坡BD可以近似看作抛物线L的一部分,且抛物线L与抛物线y=18x2的形状相同,两坡的连接点B为抛物线L的顶点,且点B到y轴的距离为5 m.
(1)求k的值.
(2)求抛物线L的解析式及点D的坐标.
(3)若小明站在坡顶PA的点M处,朝正前方抛出一个小球Q(看成点),小球Q刚出手时位于点N处,小球Q在运行过程中的横坐标x、纵坐标y与小球出手后的时间t满足的关系式为x=at+1,y=-5t2+132,a是小球Q出手后水平向前的速度.
①若a=5,求y与x之间的函数关系式;
②要使小球最终落在坡BD上(包括B,D两点),直接写出a的取值范围.
2.(2023·常德)如图,二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为坐标原点,tan∠ACO=15.

备用图
(1)求二次函数的解析式.
(2)求四边形ACDB的面积.
(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求点P的坐标.
【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:当y=0时,2(x-k)(x-k+3)=0,
解得x1=k-3,x2=k.
∴抛物线y=2(x-k)(x-k+3)与x轴的交点坐标为(k-3,0),(k,0),如图,
∴这两个交点之间的距离为k-(k-3)=3,
∵二次函数y=2(x-k)(x-k+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点,这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,
∴每相邻两点间的距离都为1,
∴平移后的抛物线与x轴的交点坐标为(k-2,0),(k-1,0),
∴平移后的抛物线解析式为y=2[x-(k-2)][x-(k-1)],
即y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+4,
∵抛物线y=2(x-k)(x-k+3)向上平移m个单位所得的抛物线解析式为y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+m,
∴m=4.故选C.
2.(1)4 (2)8 解析:(1)∵点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),
∴线段AB所在的直线方程为y=4,
∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点(m,n)在线段AB上运动,
∴n=4.
(2)∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,
∴当抛物线顶点为A(1,4)时,点C的横坐标为最小值-3,
此时,对称轴为直线x=1,则D点横坐标为5,CD=8,
当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为直线x=4,
∵CD=8,
∴C(0,0),D(8,0),
此时D点横坐标最大,最大值为8.
3.解:(1)在y=-32x+3中,令x=0,得y=3,
∴D(0,3),
∵抛物线y=-14(x-2)2+k经过点D(0,3),
∴3=-14×(0-2)2+k,
解得k=4,
∴y=-14(x-2)2+4=-14x2+x+3,
∴抛物线表示的函数解析式为y=-14x2+x+3.
(2)连接OP,如图.
在y=-32x+3中,令y=0,得x=2,
∴C(2,0),OC=2,
在y=-14x2+x+3中,令y=0,得0=-14x2+x+3,
解得x=6或x=-2,
∴A(-2,0),OA=2,
由y=-14(x-2)2+4可得抛物线的顶点P的坐标为(2,4),
∴S四边形ACPD=S△AOD+S△POD+S△POC=12×2×3+12×3×2+12×2×4=3+3+4=10.
∴四边形ACPD的面积为10.
4.解:(1)抛物线不可能经过点A,理由:
将点A(1,2)代入抛物线的关系式并整理得t2-4t+5=0,
∵Δ=16-200,
∴a=4103.
把D(9,0)代入y=-5x-1a2+132,得0=-59-1a2+132,
解得a=±813013,
∵a是小球Q出手后水平向前的速度,
∴a>0,∴a=813013,
∴a的取值范围为4103≤a≤813013.
2.解:(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5).
∵AO=1,tan∠ACO=15,
∴AOOC=15,∴OC=5,即点C的坐标为(0,5).
将点C(0,5)代入解析式,得5=a·(0+1)×(0-5),解得a=-1,
∴二次函数的解析式为y=-(x+1)·(x-5).
(2)∵y=-(x+1)(x-5)=-(x-2)2+9,
∴顶点D的坐标为(2,9).
如图1,过点D作DN⊥AB于点N,DM⊥OC于点M.
S四边形ACDB=S△AOC+S矩形OMDN-S△CDM+S△DNB=12×1×5+2×9-12×2×(9-5)+12×(5-2)×9=30.
图1
(3)如图2,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当∠ACO=∠PBC时,连接PB,过点C作CE⊥BC交 BP于点E,过点E作EF⊥OC交OC的延长线于点F.
图2
∵点B(5,0),C(0,5),∴OC=OB=5,∴△OCB为等腰直角三角形,∠OCB=45°.
由勾股定理,得CB=OB2+OC2=52.
∵∠ACO=∠PBC,
∴tan∠ACO=tan∠PBC,
即15=CECB=CE52,
∴CE=2.
由CE⊥BC,得∠BCE=90°,
∴∠ECF=180°-∠BCE-∠OCB=180°-90°-45°=45°,
∴△EFC是等腰直角三角形,
∴FC=FE.
由勾股定理,易得FC=FE=1.
∴点E的坐标为(1,6).
设直线BE的解析式为y=kx+b(k≠0).
将点B(5,0),E(1,6)代入,得
5k+b=0,k+b=6,解得k=-32,b=152,
∴直线BE的解析式为y=-32x+152.
联立y=-32x+152,y=-(x+1)(x-5).
解得x=5,y=0或x=12,y=274,
∴直线BE与抛物线的两个交点为B(5,0),P12,274,即所求点P的坐标为12,274.