第20课时 等腰三角形与直角三角形 -【备战2025】2025年中考数学一轮专题复习强化练习（含答案）

这是一份第20课时 等腰三角形与直角三角形 -【备战2025】2025年中考数学一轮专题复习强化练习（含答案），共13页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为( )
A.32B.2C.3D.72
2.(2024·陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是DC的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
3.(2024·邯郸峰峰矿区模拟)一张直径为10 cm的半圆形卡纸,过直径的两端点剪掉一个等腰三角形,在两种裁剪方案(如图1和图2,单位:cm)中,说法正确的是( )
A.只有方案Ⅰ的数据合理B.只有方案Ⅱ的数据合理
C.方案Ⅰ、Ⅱ的数据都合理D.方案Ⅰ、Ⅱ的数据都不合理
4.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是( )
A.3B.6C.3D.33
5.(2024·泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是( )
A.45°B.39°C.29°D.21°
6.(2024·河北一模)如图,△ABC为等边三角形,△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,则直线BC与直线AD的夹角为( )
A.10°B.15°C.20°D.30°
7.(2024·迁安二模)如图,在等边三角形ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,则BD=( )
A.1B.2C.3D.23
8.(2024·眉山)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为( )

图1 图2
A.24B.36C.40D.44
9.(2024·自贡)如图,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )
A.(24-123)mB.(24-83)m
C.(24-63)mD.(24-43)m
10.(2024·邯郸广平县一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,若已知点P(x,x+2),则下列同学的说法正确的是( )
嘉嘉:OP的长不可能为1.
淇淇:OP的长可以为2.
嘉琪:OP的长与x的取值无关.
A.只有嘉嘉正确
B.只有淇淇正确
C.嘉嘉和淇淇两人都正确
D.三人都正确
11.(2024·贵州)如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若AB=5,则AD的长为 .
12.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 °.
13.(2024·绥化)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A= °.
1.(2024·秦皇岛青龙县模拟)如图1所示,将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧矩形的宽相等.若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是( )

图1 图2
A.1B.2C.3D.4
2.(2024·石家庄一模)对于题目:“在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,分别以A,B为圆心,以AB长为半径的两条弧相交于点P,求∠APC的度数”.嘉嘉求解的结果是∠APC=80°,淇淇说:“嘉嘉的解答正确但不全面,∠APC还有另一个不同的值”则下列判断正确的是( )
A.淇淇说得对,∠APC的另一个值是40°
B.淇淇说得不对,∠APC只能等于80°
C.嘉嘉求的结果不对,∠APC应等于85°
D.两人都不对,∠APC应有3个不同的值,
3.(2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 .

4.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .
5.(2024·临夏州)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=13AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 .
6.(2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 .
【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,
∴AF是顶角∠BAC的平分线,
∵点F到直线AB的距离为3,
∴点F到直线AC的距离为3.故选C.
2.C 解析:∵∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形,
∴图中的直角三角形共有4个.故选C.
3.A 解析:∵半圆的直径为10 cm,若直径所对的角的顶点在圆周上,则符合勾股定理,
方案Ⅰ和Ⅱ中的直径所对的角的顶点在圆的内部,
∴图中数据的平方和小于100,
∵62+62=72100,
∴只有方案Ⅰ的数据合理.故选A.
4.A 解析:∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点,AC=6,
∴BD=CD=AD=12AC=3,
∵∠BDC=60°,
∴△BCD为等边三角形,
∴BC=BD=3.故选A.
5.B 解析:如图,过点A作AF∥l,
∵直线l∥m,
∴AF∥m,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AF∥l,
∴∠BAF=∠ABE,
∵∠ABE=21°,
∴∠BAF=21°,
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,
∵AF∥m,
∴∠ACD=∠CAF=39°.故选B.
6.B 解析:如图,延长AD与BC交于点E,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
又∵△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,
∴∠CAD=45°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°,
∴∠E=180°-(∠ABC+∠BAD)=180°-(60°+105°)=15°.
即直线BC与直线AD的夹角为15°.故选B.
7.B 解析:∵三角形ABC是等边三角形,
∴AB=BC=4,∠ACB=60°,
∵BD∥AC,
∴∠DBC=∠ACB=60°,
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=30°,
∴BD=12BC=2.故选B.
8.D 解析:如图,设直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,

图1 图2
∵图1中大正方形的面积是24,
∴a2+b2=c2=24,
∵小正方形的面积是4,
∴(b-a)2=a2+b2-2ab=4,
∴ab=10,
∴图2中最大的正方形的面积为=c2+4×12ab=24+2×10=44.故选D.
9.D 解析:∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB,
∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,BD=6,
∴CD=63,
∵∠BED=60°,
∴DE=23,BE=AE=43,
∴减少用钢为(AB+AC+BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE=(24-43)(m).故选D.
10.C 解析:由点P(x,x+2),
得P在直线AB:y=x+2上,
当OP⊥AB时,OP最短=2,
故嘉嘉说OP的长不可能为1,是正确的;
当x=0时,P(0,2),
故淇淇说OP的长可以为2,是正确的;
嘉琪说OP的长与x的取值无关,是错误的.故选C.
11.5 解析:由作图可知:AD=AB,
∵AB=5,∴AD=5.
12.100 解析:∵等腰三角形的一个底角的度数为40°,
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°,
∴等腰三角形的顶角的度数为:180°-2×40°=100°.
13.66 解析:∵OC=OE,∠C=33°,
∴∠E=∠C=33°,
∴∠DOE=∠E+∠C=66°,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠DOE=66°.
能力提升
1.C 解析:长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a,则底边长为8-2a.
由题意得2a>8-2a,8-2a>0,解得2