专项训练09 利用“将军饮马”解决线段最值问题 -【备战2025】2025年中考数学一轮专题复习强化练习（含答案）

这是一份专项训练09 利用“将军饮马”解决线段最值问题 -【备战2025】2025年中考数学一轮专题复习强化练习（含答案），共8页。
A.B.C.D.
2.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE为钝角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为( )
A.12αB.α-90°C.2α-180°D.α-45°
3.如图,等边三角形ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D为线段BC'上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A.4B.32C.23D.2+3
4.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以点B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 .

5.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,APPC的值是 .
6.(2023·达州)在△ABC中,AB=43,∠C=60°,在边BC上有一点P,且BP=12AC,连接AP,则AP的最小值为 .
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且 CD=2,连接AF,BD.
(1)求证:△FCA≌△DCB.
(2)在正方形CDEF旋转过程中,求 BD+22AD的最小值.
1.如图,网格纸上每个小正方形的边长为1,点A,点C均在格点上,点P为x轴上任意一点,则△PAC周长的最小值为 .
2.(2023·自贡)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边DE,AB的中点,DE=2,AB=4.
(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值.
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.

图1 图2
3.(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式.
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
基础夯实
1.A
2.C 解析:如图,作点A关于BC对称的点A',作点A关于DE对称的点A'',则A''E=AE,A'B=AB,连接A'A'',分别交线段BC和线段DE于点M和点N,连接AM,AN,这时候△AMN的周长取最小值.
∵∠B=∠E=90°,
∴A'M=AM,AN=A''N,
∴∠AA'M=∠A'AM,∠AA''N=∠A''AN,
∴∠AMN=2∠A'AM,∠ANM=2∠A''AN,
∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,
∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,
∴∠BAM+∠EAN=180°-α,
∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.
故选C.
3.A 解析:连接CC',如图所示.
∵△ABC、△A'BC'均为等边三角形,
∴∠ABC=∠A'=60°,A'B=BC=A'C',∴A'C'∥BC,
∴四边形A'BCC'为菱形,
∴点C关于BC'对称的点是A',
∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,最小值为AA'的长.
∵AA'=AB+A'B=2+2=4,
∴AD+CD的最小值为4.故选A.
4.210-1 解析:如图,连接BM,将BM以点B为中心逆时针旋转90°,点M的对应点为点E.∵点P的运动轨迹是以点M为圆心,1为半径的半圆,∴点Q的运动轨迹是以点E为圆心,1为半径的半圆.当M,Q,E三点共线时,MQ的值最小.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M是CD的中点,∴CM=2.∴BM=CM2+BC2=22+42=25.由旋转,得BM=BE,∠MBE=90°.∴ME=2BM=210.∴MQ=ME-EQ=210-1.∴MQ的最小值为210-1.
5.27 解析:如图,作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P',过点F'作AD的垂线段,交AC于点K.由题意,得此时点F'落在AD上,且根据对称的性质,当点P与点P'重合时,PE+PF取得最小值.设正方形ABCD的边长为a,则AF'=AF=23a.∵四边形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC=2a.∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠F'KA=45°.∴∠F'KP'=∠EAP'=45°.∴AK=223a.∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP'.∴F'KEA=KP'AP'=2.∴AP'=13AK=292a.∴CP'=AC-AP'=792a.∴AP'CP'=27.∴当PE+PF取得最小值时,APPC的值是27.
6.213-2 解析:如图,作△ABC的外接圆,圆心为点M,连接AM,BM,CM,过点M作MD⊥AB于点D,过点B作BN⊥AB,交BP的垂直平分线于点N,连接AN,BN,PN,以点N为圆心,BN(PN)的长为半径作圆.∵∠ACB=60°,点M为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMB=2∠ACB=120°,AM=BM.∴∠MAB=∠MBA=180°-∠AMB2=30°.∴MD=12AM.∵MD⊥AB,∴AD=12AB=23.在Rt△ADM中,∵AM2=MD2+AD2,∴AM2=12AM2+(23)2.
∴AM=4,即AM=BM=CM=4.由作图可知BN⊥AB,点N在BP的垂直平分线上,∴∠PBN=∠BPN=90°-∠ABC.∴∠PNB=180°-(∠PBN+∠BPN)=2∠ABC.又∵点M为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMC=2∠ABC.∴∠AMC=∠PNB.∵CMPN=AMBN,∴△AMC∽△PNB.∴CMBN=ACPB.∵BP=12AC,∴CMBN=ACPB=2,即BN=12CM=2.∴PN=BN=2.在Rt△ABN中,AN=AB2+BN2=(43)2+22=213.由AP≥AN-PN=213-2,得AP的最小值为213-2.
7.解:(1)证明:∵四边形CDEF是正方形,
∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°,
∴∠ACF=∠BCD,
∵AC=BC,∴△FCA≌△DCB(SAS).
(2)如图,取AC的中点M,连接DM,BM.
∵CD=2,CA=2,CM=1,
∴CD2=CM·CA,
∴CDCA=CMCD,
∵∠DCM=∠ACD,
∴△DCM∽△ACD,
∴DMAD=CDAC=22,
∴DM=22AD,
∴BD+22AD=BD+DM≥BM,
∴BD+22AD的最小值为BM的长,
∵BM=CB2+CM2=22+12=5,
∴BD+22AD的最小值为5.
能力提升
1.22+210 解析:如图,点P即为所求.
∵A(2,4),C(4,2),C'(4,-2),
∴AC=22+22=22,AC'=22+62=210,
∴△PAC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+AP+PC'=AC+AC'=22+210.
2.解:(1)点M,N距离的最大值为3,最小值为1.
(2)如图,连接MC,过点N作NP⊥MC,交MC的延长线于点P.
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°,
∴∠BCE=120°.
∵∠BCN=∠ECM=45°,
∴∠MCN=(∠BCE+∠ECM)-
∠BCN=∠BCE=120°.
∴∠NCP=180°-∠MCN=60°.
∴∠CNP=90°-∠NCP=30°.
∴CP=12CN=1.
在Rt△CNP中,NP=NC2-CP2= 3.
在Rt△MNP中,MP=MC+CP=1+1=2,
∴MN=NP2+MP2=3+4=7.
3.解:(1)如图1,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D,则∠AEC=∠CDB=90°.
图1
∵点C(3,0),B(6,m),
∴OC=3,OD=6,BD=m.
∴CD=OD-OC=3.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC.
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD.
∴△ACE≌△CBD(AAS).
∴AE=CD=3,CE=BD=m.
∴OE=OC-EC=3-m.
∴点A的坐标是(3-m,3).
∵点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上,
∴3(3-m)=6m.解得m=1.
∴点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(6,1).∴k=6m=6.
∴反比例函数的解析式是y=6x.
设直线AB所对应的一次函数的解析式为y=px+q.
把点A(2,3),B(6,1)代入,
得2p+q=3,6p+q=1.解得p=-12,q=4.
∴直线AB所对应的一次函数的解析式为y=-12x+4.
图2
(2)存在.如图2,延长AE至点A',使得EA'=EA,连接A'B交x轴于点P,连接AP.
∴点A与点A'关于x轴对称.
∴AP=A'P,点A'(2,-3).
∵AP+PB=A'P+PB=A'B,
∴AP+PB的最小值是A'B的长度.
∵AB=(2-6)2+(3-1)2=25,即AB是定值,
∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小.
设直线A'B的解析式是y=nx+t.
将点A'(2,-3),B(6,1)代入,得2n+t=-3,6n+t=1.解得n=1,t=-5.
∴直线A'B的解析式是y=x-5.
当y=0时,0=x-5,解得x=5,即点P的坐标是(5,0),
此时AP+PB+AB=AB+A'B=25+(2-6)2+(-3-1)2=25+42.
综上所述,在x轴上存在一点P(5,0),使△ABP周长的值最小,最小值是25+42.