湖南省常德市安乡县2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)

这是一份湖南省常德市安乡县2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程的一次项系数是（ ）
A. 3B. C. 5D. 0
答案：B
解析：解：由题意知，一元二次方程的一次项系数是，
故选：B．
2. 已知三边长分别为，与它相似的的最长边长为20，则的面积为（ ）
A. 12B. 24C. 48D. 96
答案：D
解析：解：，
是直角三角形，
，
与的相似比为，面积比为，
故．
故选：D．
3. 在中，，则下列结论正确的为（ ）
A B. C. D.
答案：C
解析：解：如图，在中，，
，
故选项A，B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
4. 如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ）
A. 5B. 4C. 8D. 6
答案：A
解析：解：连接，设的半径为，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
则的半径为5，
故选A．
5. 对一组数据：，描述正确的是（ ）
A. 中位数是B. 平均数是5C. 众数是6D. 方差是7
答案：C
解析：解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数为6，
∴中位数为6，故A不符合题意；
∵数字6出现的次数最多，
∴众数是6，故C符合题意；
平均数为，故B不符合题意；
方差为，故D不符合题意；
故选：C．
6. 如图，已知反比例函数与矩形的对角线相交于点，若，矩形的面积为，则等于（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 16
答案：A
解析：解： ，
设的坐标是，则的坐标是．
矩形的面积为．
把的坐标代入函数解析式得：．
故选：A．
7. 如图，在矩形中，点是的三等分点，，垂足为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：∵点是的三等分点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
设，则，
∵，
∴
∴
故选：C
8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点.下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤对任意实数，都有（其中）其中正确的结论有（ ）个
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：解：由图象可知，，，当时，随着的增大而增大，
∴，
∴，①错误，故不符合要求；
∴，
由轴对称的性质可知，图象经过，
当时，，②正确，故符合要求；
当时，，③正确，故符合要求；
∵关于对称轴对称的点坐标为，
∴，④错误，故不符合要求；
由题意知，当时，，
∴，
∴，即，⑤正确，故符合要求；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 在中，，若，则的值为 __．
答案：
解析：解：在中，、、所对的边分别为、、，
∵，，
设，，
∴，
∴，
故答案为：．
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理，理解和掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
10. 已知2是方程的一个根，则另一根为_____________
答案：3
解析：解：设方程的另一个根为m，
由题意得，，
∴，
∴方程另一根为3，
故答案为；3．
11. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是_____________
答案：##
解析：解：依题意，得，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，点三点在上，，则_____________
答案：##50度
解析：解：
故答案为：．
13. 如图，为平行四边形边上一点，分别在上，且，梯形、的面积分别为，若，则_____________
答案：25
解析：解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，为上的点，
．
故答案为：．
14. 随着人口负增长，新建住房数量增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市新建商品房价格连续两年降低了，则这两年平均降价率为_____________
答案：
解析：解；设这两年平均降价率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴这两年平均降价率为，
故答案为：
15. 如图，在边长为的正的边上有两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针运动，若点的速度为每秒的速度为每秒，则最少经过_____________秒，与相似．
答案：2
解析：解：∵是等边三角形，∴，，
∵与相似，
∴也是等边三角形，
∴，如图，
设最少经过秒，与相似，
此时，，
依题意得，解得，
∴最少经过秒，与相似．
故答案为：．
16. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的度数为_____．
答案：##度
解析：解：如图，过作轴于点，过作轴于，
则，
顶点，分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故本题答案为：．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17. 计算：．
答案：3
解析：解：
．
18. 解方程：．
答案：
解析：解：
，
，
，
或，
解得：．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19. 如图，一次函数图象与轴，轴分别相交于两点，与反比例函数的图象相交于点，已知点，点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求的面积．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得，
∴点的坐标为，
又点也在反比例函数的图象上，
，
解得，
∴点的坐标为，
又点在一次函数的图象上，
，解得：
一次函数的表达式为：
小问2解析：
直线与轴的交点为，
令，得：，即B的坐标为
．
20. 如图，在中，分别是上的点，是等边三角形，

（1）求证：；
（2）求的长
答案：（1）证明见解析
（2）3
小问1解析：
是等边三角形，
∵，
∴
又∵，
；
小问2解析：
由（1）得：，
∴，
又，
即，
解得：，
又是等边三角形，
，即．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行.为了解学生最喜欢的运动项目，学校从全校随机抽取了部分学生，进行了问卷调查（每个被调查的学生在5种最受学生欢迎的运动项目中只选择最喜欢一种），5种最受学生欢迎的运动项目是：“游泳、田径、球类、艺术体操、举重”；将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图（未画完整）
（1）这次调查中，一共调查了_____________名学生，请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名学生，请估计该校最喜欢“球类”的学生数；
（3）学校想要从最喜欢艺术体操的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率.
答案：（1）60 （2）500
（3）
小问1解析：
解：本次调查的学生共有（名）
最喜欢“球类”的学生数为（名）
补全条形统计图如下：
故答案为：60；
小问2解析：
解：（人）
即估计该校最喜欢“球类”的学生人数为500人；
小问3解析：
解：用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，
抽到的2名学生来自不同年级的概率是．
22. 某水果店销售甲、乙两种水果，如果用800元可购买20千克甲种水果和16千克乙种水果，用1000元可购买40千克甲种水果和8千克乙种水
（1）求甲、乙两种水果每千克的价格分别为多少元？
（2）已知该水果店在12月共售出甲种水果500千克、乙种水果300千克.春节将近，1月份水果店将甲种水果每千克的售价提高元，乙种水果的价格不变，结果与12月相比甲种水果销量下降了千克，乙种水果销量上升千克，但甲种水果的销量仍高于乙种水果，销售总额比12月多出3000元，求m的值
答案：（1）甲种水果的价格为20元，乙种水果的价格为25元．
（2）15
小问1解析：
解：设每千克甲种水果的价格为元，乙种水果的价格为元，
依题意得：，
解得：，
答：每千克甲种水果的价格为20元，乙种水果的价格为25元．
小问2解析：
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，
又，
，
．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23. 如图，、是的两条弦，点是的中点，连接并延长、，分别交、的延长线于点、．且
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：∵点是的中点，
∴,，
∵，，
∴，
∴，，
∵,
∴,
∵，
∴，
∴；
小问2解析：
连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是的直径，
，
又，
在中，，
令，在中，由，
得，
解得，即，
在中，，
的半径为．
24. 常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（结果精确到，参考数据：）
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：如图1，过点作于点，
由题意知，，，
∴，
∵，
∴单车车座到地面的高度约为；
小问2解析：
解：如图2，过点作于点，
由题意知，
∴，
∴，
∴的长为．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25. 如图1，在正方形中，为边上的动点（与点不重合），点在的外接圆上，且在正方形内部，是的中点，圆的半径为．
（1）证明为等腰直角三角形
（2）如图2，连接过点作于，求的长
（3）如图3，若为的一个四等分点，点在的外接圆上，，求的长
答案：（1）证明见解析
（2）2 （3）
小问1解析：
证明：如图1，点在的外接圆上，
，
又是正方形的一个内角，，
又是中点，
，
是等腰直角三角形；
小问2解析：
解：如图，延长交于点，
，四边形为正方形，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，，
，
，
，
即，
，
四边形为矩形，
，
为的中垂线，，
是等腰直角三角形，
为圆的直径，
又圆的半径为，
，
，即
小问3解析：
解：如图，设正方形边长为
为的一个四等分点，
，
由（2）知，
，
在中，，
即解得，
，
为直径，
，
，
，
，
．
26. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；
（2）；
（3）存在，，或．
小问1解析：
解：根据题意，设二次函数的解析式为，
化为一般式得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为；
小问2解析：
解：∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴当A，P，C三点共线时，的长度最小，
此时点P坐标为直线AC与抛物线对称轴交点，
令，代入得，
∴点，
设直线AC的解析式为，将点A、C坐标代入得，
，
解得，
则直线AC的解析式为，
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
∴点P的坐标为；
小问3解析：
解： 由题可知点，点，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线BP上，
则设点的坐标为，点
已知以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点，点，
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
当为对角线时，，解得
点的坐标为；
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
综上可得，在直线BP上存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．