江西省上饶市万年县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省上饶市万年县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为( )
A. (x+2)2=1B. (x-2)2=1C. (x+2)2=9D. (x-2)2=9
2.关于二次函数y=2(x-1)2+3的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值1B. 有最小值1C. 有最大值3D. 有最小值3
3.已知⊙O的周长为12πcm，某直线到圆心O的距离为5cm，则这条直线与⊙O公共点的个数为( )
A. 2B. 1C. 0D. 不能确定
4.如图，将一块含有30°的直角三角板ABC(假定∠C=90°，∠B=30°)绕顶点A逆时针旋转100°得到△AB'C'，则∠BB'C'等于( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
5.在平面直角坐标系中，若直线y=-2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2=0的实根的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
6.⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线DE交AC的延长线于点E.有下面四个结论：①∠EDA=∠B②DE//BC③OD⊥BC④OD=DE.其中正确结论的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.点M(3,-2)关于原点的对称点为N，则点N的坐标为______．
8.已知方程(m+2)xm2-2+4x+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ______．
9.已知x1、x2是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，则x1x2-x1-x2= ______．
10.从6、7、8这三个数中任选两个数，其积为偶数的概率是______．
11.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线x=1，则当y≤0时，x的取值范围是______．
12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2 2cm，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为______.(若结果需要用到π，则用含π的代数式表示)
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程：2x2-5x-7=0．
(2)如图，等边△ABC的边长为2cm，求BC边上的边心距OD的长．
14.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)，与y轴交于点C(0,3)，求此抛物线的解析式．
15.(本小题6分)
已知关于x的方程3x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x12+x22=109，求实数m的值．
16.(本小题6分)
如图，锐角△ABC内接于⊙O，请仅用无刻度直尺按要求画图．

(1)在图甲中，以点B为顶点作一锐角，使之与∠A互余．
(2)在图乙中，CD=BA，点D、A在弦BC的同旁，过点A作一直线将△ABC的面积平分．
17.(本小题6分)
万年县裴梅镇某村有一农户2021年种的贡米水稻平均每亩产600kg，到2023年平均每亩产726kg，求此农户种的贡米水稻每亩产量的年平均增长率．
18.(本小题8分)
如图，有一圆锥，其高SO=20 2cm，母线SA=30cm．
(1)求此圆锥侧面展开图的圆心角．
(2)若在此圆锥的上面截去一个高为10 2cm的圆锥，求剩下的几何体侧面展开图的面积．
19.(本小题8分)
如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，PA是⊙O的切线，BD/​/OP，点D在⊙O上．
(1)求证：PD是⊙O的切线．
(2)若△ABC的边AC=6cm，BC=8cm，I是△ABC的内心，求IO的长度．
20.(本小题8分)
万年县举行校园安全知识竞赛，要求每个学校只派一名学生参赛.某学校举行了校内选拔赛，其中袁梦和孟想两位同学获得最高分(分数相同)，袁梦和孟想想通过游戏来决定谁参加县里比赛.游戏规则：在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的三个扇形区域，分别标有数字5、6、7(如图)：一人从口袋中摸出一个球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于8，那么袁梦去；否则孟想去．
(1)用树状图或列表法求出袁梦参加比赛的概率．
(2)你认为该游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．
21.(本小题9分)
某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
22.(本小题9分)
已知点P是⊙O外一点，过P点作⊙O的切线，A，B为切点，⊙O的半径为r．

(1)如图甲所示，点D在优弧AB上(点D不与点A、点B重合)，若∠P=68°，求∠ADB的度数．
(2)如图乙所示，点D在⊙O上运动，当PD最大时，且四边形PADB为菱形，求此时∠APB的度数．
(3)在(2)的情况下，设PD交⊙O于另一点C，求阴影部分图形的周长.(结果用含r的代数式表示)．
23.(本小题12分)
直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A(12,52)和点B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点.过点P作PC⊥x轴交抛物线于点C．
(1)求此抛物线的顶点坐标．
(2)求△PAC以A为直角顶点时点P的坐标．
(3)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.D
2.D
3.A
4.B
5.D
6.C
7.(-3,2)
8.2
9.-5
10.1
11.x≤-1或x≥3
12.π-22cm2
13.解：(1)2x2-5x-7=0，
∴(2x-7)(x+1)=0，
∴2x-7=0或x+1=0，
解得：x1=72，x2=-1；
(2)如图，连接OB，OC，
∴OB=OC，∠BOC=120°，

∵OD为边心距，则OD⊥BC，
∴∠BOD=∠COD=60°，BD=CD=1cm，
∴OD=BDtan60∘= 33cm．
14.解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)，
∴设抛物线为y=a(x+2)(x-6)，
把C(0,3)代入得，-12a=3，
解得a=-14，
∴抛物线的表达式为：y=-14(x+2)(x-6)=-14(x2-4x-12)=-14x2+x+3；
15.解：依题意可得：x1+x2=-ba=--23=23，x1x2=ca=m3，
∵x12+x22=109，
∴(x1+x2)2-2x1x2=109，
即49-2×m3=109，
解得m=-1．
16.解：(1)如图1，作直径BQ，连接CQ，∠QBC即为所求；
．
(2)如图2，连接BD，交AC于R，连接RO并延长交BC于S，则直线AS即为所求作的直线；
．
17.解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：600×(1+x)2=726，
解得：x=0.1=10%或x=-2.1(舍去)．
答：水稻亩产量的年平均增长率为10%．
18.解：(1)设此圆锥侧面展开图的圆心角的度数为θ°，
∵圆锥高SO=20 2cm，母线SA=30cm，
∴AO= SA2-SO2=10cm，
由题意得：θπ⋅SA180=2π⋅AO，即30πθ180=2π×10，
解得θ=120，
即此圆锥侧面展开图的圆心角的度数为120°．
(2)由题意可知，O1C//OA，SO1=10 2cm，
∴△O1SC∽△OSA，
∴SCSA=SO1SO，即SC30=10 220 2，
解得SC=15(cm)，
则截去的圆锥的侧面展开图的面积为120π⋅SC2360=120π⋅152360=75π(cm2)，
∵这个圆锥的侧面展开图的面积为120π⋅SA2360=120π⋅302360=300π(cm2)，
∴剩下的几何体侧面展开图的面积为300π-75π=225π(cm2)，
答：剩下的几何体侧面展开图的面积为225πcm2．
19.(1)证明：如图，连接OD，AD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD//OP，
∴OP⊥AD，OP是AD的垂直平分线，
∴PD=PA，
∵OP=OP，OD=OA，
∴△ODP≌△OAP(SSS)，
∴∠OAP=∠ODP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠ODP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
(2)如图，过I作IU⊥AB于U，作IQ⊥AC于Q，作IV⊥BC于V，

则IU=IV=IQ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= 62+82=10，OB=OA=5，
∴12(6+8+10)×IU=12×6×8，
∴IV=IQ=IU=2，
∵IV⊥BC，IQ⊥AC，∠ACB=90°，IV=IQ=2，
∴四边形IVCQ为正方形，
∴CQ=2，AQ=6-2=4，
∴AU= AI2-IU2= AI2-IQ2=4，
∴OU=5-4=1，
∴IO= OU2+IU2= 5(cm)．
20.解：(1)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，满足条件的有3种情况，
∴P=312=14；
(2)不公平，
∵P(和小于8)=14，
P(和大于或等于8)=34，
故游戏不公平；
可改为：若指针所指数字之和为偶数，则袁梦获胜；若指针所指数字之和为奇数，则孟想获胜；
P(和为偶数)=P(和为奇数)=12．
21.解：(1)由题意，y=150-10x，0≤x≤5且x为正整数；
(2)设每星期的利润为w元，
则w=(40+x-30)y
=(x+10)(150-10x)
=-10(x-2.5)2+1562.5
∵x为非负整数，
∴当x=2或3时，利润最大为1560元，
又∵销量较大，
∴x=2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元．
答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为1560元．
22.解：(1)如图甲，连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∵∠P=68°，
∴∠AOB=112°，
∴∠ADB=56°；
(2)如图乙，连接OA，OB，
∵点D运动到PD距离最大，
∴PD经过圆心，

∵四边形PADB为菱形，
∴∠APB=∠ADB，
由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∠AOB=2∠ADB，
∴3∠APB=180°，
∴∠APB=60°，
(3)如图丙，

∵∠APB=60°，PA，PB为⊙O的切线，
∴∠APD=∠BPD=30°，∠PAO=90°，
∵⊙O的半径为r，
∴OA=r，OP=2r，
∴AP= 3r,PD=3r，PC=r，
∵∠AOP=90°-∠APO=60°，
∴AC的长度=60π⋅r180=π3r，
∴阴影部分的周长= 3r+r+π3r=( 3+1+π3)r．
23.解：(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上，
∴m=6，即B(4,6)，
∵A(12,52)和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴(12)2a+12b+6=5216a+4b+6=6，
解得：a=2b=-8，
∴抛物线的解析式y=2x2-8x+6；
(2)如图，连接AC，∠PAC=90°，点P是线段AB上异于A、B的动点，

设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∵A(12,52)、B(4,6)在直线y=mx+n上，代入得：
12m+n=524m+n=6，
解得：m=1n=2，
∴直线AB的解析式为y=x+2，
设动点P坐标为(m,m+2)，则C点坐标为(m,2m2-8m+6)，
∴(m-12)2+(m+2-52)2+(m-12)2+(2m2-8m+6-52)2=(-2m2+9m-4)2，
解得：m=12(舍去)或m=3，
∴P(3,5)；
(3)存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，理由如下：
设动点P的坐标为(n,n+2)，点C的坐标为(n,2n2-8n+6)，
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2(n-94)2+498，
∵-2