内蒙古呼和浩特市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古呼和浩特市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：120分时长：120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致.下列窗户图案不是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.抛物线的对称轴是（ ）
A.直线B.直线C.直线D.直线
3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果正确的是（ ）
A.B.
C.D.
4.如图，点，，在上，半径为，弦长为，则的大小为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到六边形.如果的周长为，那么正六边形的边长是（ ）
A.12B.6C.3D.2
6.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A.B.C.D.
7.下列说法正确的是（ ）
A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
C.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
D.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
8.如图，线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以点为圆心，线段的长为半径作圆.设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A.一次函数关系，二次函数关系B.一次函数关系，正比例函数关系
C.正比例函数关系，一次函数关系D.正比例函数关系，二次函数关系
9.如图，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若和所在圆的圆心都为点，则阴影部分的面积为（ ）
A.B.C.D.
10.在研究简单随机事件的概率问题时，历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表.
下面有3个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的频率是0.4979，故“正面向上”的概率是0.4979；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③如果在此条件下再次做随机抛掷硬币的试验，当抛掷次数为20000时，则出现“正面向上”的次数不一定是10000次。
其中所有合理推断的序号是（ ）
A.②B.①③C.①②③D.②③
二、填空题（每题3分，共18分.如有2空，第一空1分，第二空2分）
11.平面直角坐标系中中，点与点关于原点对称，那么点的坐标是______.
12.写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的解析式：______.
13.代数式中字母与其对应的代数式的值，部分列表如下：
多表中得出方程的一个根是______；则该方程的另一个根是______.
14.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______.
15.斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载：“斛底，方而圜其外，旁有庣焉”意思是说：“斛的底面为正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”（如图所示）.
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为_______尺.
16.如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，则的度数为______；连接，线段长的最小值为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）解下列方程：
（1）；（2）.
18.（8分）下面是小颖设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.
已知：如图，为上一点.
求作：过点且与相切的一条直线.
作法：①连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，与的一个交点为，作射线；
③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点（不与点重合）；
④作直线.
所以直线PA即为所求.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）.
（2）完成下面的证明.
证明：连接BA.
由作法可知.
∴点A在以OP为直径的圆上.
∴（______）（填推理依据）.
又∵OA为的半径，
∴直线PA是的切线（______）（填推理依据）.
19.（9分）有一张长为80cm，宽60cm的长方形薄钢片，在它的四个角上各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为.那么钢片各角切去的正方形的边长是多少？
20.（7分）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏.这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负.如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？
（用“列表”或“画树状图”列举的方法求概率）
21.（8分）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m.一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分.某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞线行到距球网3m时达到最大高度2.5m.小石建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的解析式为.
根据以上信息，解决下列问题：
（1）在图中画出小石建立的平面直角坐标系，并说明理由.
（2）判断排球能否过球网，并说明理由.
22.（9分）如图，在等边三角形ABC中，点P为内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到，连接，.
（1）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
（2）当时，
①求的度数；
②若M为BC中点，连接PM，用等式表示线段PM与AP之间的数量关系，并证明.
23.（9分）小明在学习过程中遇到一个函数.
下面是小明运用学习过的函数的研究方法对其进行探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，的取值范围是全体实数，并且有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______.
（2）进一步研究，当时，与的几组对应值如下表：
结合上表，画出当时，函数的图象.
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于的方程有一个实数根为2，则该方程其他的实数根约为多少（结果保留小数点后一位）？
24.（12分）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和N的“关联点”.
如图，已知点，，，.
（1）直线l经过点A，的半径为2，在点A，C，D中，直线与的“关联点”是哪个？说明理由.
（2）G为线段OA的中点，Q为线段DG上一动点（不与点D，G重合），若和有“关联点”，求的半径r的取值范围.
（3）的圆心为点，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合.过和直线m的“关联点”在直线上，请求出b的取值范围.
备用图1 备用图2
2023—2024学年第一学期期末
九年级数学参考答案
（考试时间120分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题（每题3分，共18分.如有2空，第一空1分，第二空2分）
11.12.（答案不唯一，满足，即可）
13.6；14.15.16.90°；
第16题解析
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17.（10分）
解：（1）；
，
（2）
，
18.（8分）解：（1）补全图形如图1所示：
图1
（2）直径所对的圆周角是直角；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
19.（9分）
解：设钢片各角切去的正方形的边长是.
由题意得：
化简得：
解得：，（舍）
答：钢片各角切去的正方形的边长是.
20.（7分）
解：根据题意，可以画树状图如下：（列表也可以）
由树状图知，
小宇、小伟二人同时随机出手一次所有可能出现的结果共有9种，
并且它们出现的可能性相等，
在所有可能的结果中满足小宇获胜的结果有3种，
即（石头、剪刀），（剪刀、布），（布、石头）
∴
21.（8分）
解：（1）平面直角坐标系如图2：
图2
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为.
∵当排球飞行到距球网时达到最大高度，
根据题意，得抛物线顶点的坐标为.
∴小石建立的平面直角坐标系是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴.
（2）排球能过球网，理由如下：
根据题意，得点的横坐标为3，
∴当时，.
∴排球能过球网.
22.（9分）
解：（1）.
理由如下（如图3）：
图3
∵是等边三角形，∴，，
由旋转可知，
∴.
即.
在和中，
∴（SAS）.
∴.
（2）①∵，∴
∵等边三角形中，，
∴
∴
∵.
∴.
∴
即
②.
理由如下：
如图4，延长到，使得，连接.
图4
∴.
∵为的中点，∴.
在和中，
∴（SAS）.
∴，∴.
∵，∴
∴，即
∵
∴.
在和中，
∴（SAS）.∴.
∵，，∴为等边三角形.∴.
∴.
∴.
23.（9分）
解：（1）最小；0
（2）函数图象如图5：
图5
（3）根据题意，关于的方程有一个实数根为2，
则函数的图象与函数的图象交于点.
（∴，）
如图6，作直线，与函数的图象交于点.
图6
根据函数图象的交点可知，点的横坐标约为4.2.
则该方程其他的实数根约为4.2
（由于作图存在误差，写出的另一个根大于4，小于4.5均给分）
24.（12分）
解：
（1）直线与的“关联点”是点.
理由如下：（如图7）
图7
∵，，，.
∴，轴，.
∵的半径为2，
∴直线与相切.
∴直线与的“关联点”是点.
（2）∵为等腰三角形，为线段的中点，，
∴.（为等边三角形）
当是的内切圆时，；
当是的外接圆时，；（如图8）
若点是与的“关联点”，则.（如图9）
若点是与的“关联点”，则.（如图10）
图8 图9 图10
综上，的半径的取值范围是：或.
（3）设和直线的“关联点”为点，
∵直线过点且不与轴重合.
∴直线与和相切于点.即（直线）是的切线.
∵的圆心为点，半径为，
∴轴是的切线.
∴.
∴点的运动轨迹是以点为圆心，2位半径的半圆（在轴上面部分），则点.（如图11）
∵点在直线上，
∴当直线与相切时，最大，作交轴于点.
即当点与点重合时，此时直线与轴交于点.
∵，.
∴.
∴.
∴.
当点运动到点时，则直线过点，
则，解得（与相切于点，故不经过点）
∴的取值范围为.
图11试验者
棣莫弗
布丰
费勒
皮尔逊
皮尔逊
抛掷次数
2048
4040
10000
12000
24000
“正面向上”次数
1061
2048
4979
6019
12012
“正面向上”的频率
0.5181
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
…
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
0
0
4
10
18
28
40
54
70
88
108
…
0
1
2
3
4
…
0
2
1
0
2
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
B
A
C
B
C
D
A
B
D