广东省东莞市七校联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份广东省东莞市七校联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于( )
A.B.C.D.
2．若向量，，则( )
A.B.C.3D.
3．在中，已知，，，点D为线段的中点，则边上的中线的长为( )
A.6B.C.D.7
4．已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为( )
A.B.
C.D.
5．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.B.C.D.
6．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可黏合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为( )
A.B.C.D.
7．如图①，在中，，，E，F分别为，上的点，
.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面的距离为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆,直线.则以下命题正确的有( )
A.直线l恒过定点
B.y轴被圆C截得的弦长为
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最长时,直线的方程为
10．已知为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A.
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为
D.
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，P为侧面的一动点，下列说法正确的是( )
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.若的面积为，则动点P的轨迹为椭圆的一部分
C.若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹为抛物线的一部分
D.过直线的平面与面所成角最小时，平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题
12．已知向量，，若，则__________.
13．已知点在焦点为F的抛物线上，若，则__________.
14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆若点P到，的距离比为，则点P到直线的距离的最大值是__________.
四、解答题
15．已知两直线和的交点为P.
(1)直线l过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程；
(2)圆C过点且与相切于点P，求圆C的一般方程
16．如图，平行六面体中，，，，.
(1)以向量为基底表示向量，求对角线的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值
17．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长；
(3)若直线l与椭圆相交于C，D两点，且弦的中点为，求直线l的方程
18．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，M为的中点
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点N使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由
19．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知道点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
(i)求m的取值范围；
(ii)设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上
参考答案
1．答案：D
解析：设直线的倾斜角为，
由直线，可得斜率为，
即，所以，故D正确
故选：D
2．答案：D
解析：向量，
故选：D
3．答案：A
解析：由中点坐标公式得
由两点间的距离公式得
故选：A
4．答案：B
解析：由题意知,圆与圆的方程相减
可得,即,
此即为公共弦AB所在直线的方程.
故选B
5．答案：B
解析：抛物线的焦点为，
椭圆的右焦点为，
所以，
离心率为，
解得，，
所以椭圆的方程为.故
选B.
6．答案：D
解析：由题意可得：以C为喉部对应点，
以OC所在直线为x轴,过点O且与OC垂直的直线为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设A与B分别为上,下底面对应点,
设双曲线的方程为
因为双曲线的离心率为,
所以,
又喉部(中间最细处)的直径为8cm,
所以，
所以双曲线的方程为.
由题意可知，
代入双曲线方程得，
则,则该塔筒的高为.
故选:D
7．答案：B
解析：将沿EF折起,四棱雉的体积最大时,
此时平面BCFE,根据题意可知.
以E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
因此，，，
所以，
设平面ACF的法向量为,
所以,
所以
令,那么
设平面ACF的法向量为,
所以,
所以
令,那么,
那么点E到平面ACF的距离为
故选:B
8．答案：C
解析：连接OA,OB,OP，依题意，O、P、A、B四点共圆,
在直角三角形OAP中,
，即
,即,
，又
椭圆C的离心率的取值范围是,
故选:C
9．答案：CD
解析：对于A,直线,
即,
由
解得,故直线过定点,故A错误;
对于B,圆
当时,,故y轴被圆C截得的弦长为,故B错误;
对于C,直线过定点,
故点P在圆内,则直线l与圆C恒相交,故C正确;
对于D,当直线l被圆C截得弦长最长时,直线过圆心
则,解得,
故直线方程为:
即,故D正确.
故选:CD
10．答案：BD
解析：由双曲线方程可知,,
由双曲线的定义可得或A错误;
双曲线的离心率为,选项B正确;
双曲线的渐近线方程为,
即C错误；
D正确.
故选:BD
11．答案：BCD
解析：以D为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，
所以，所以A错误；
设P到的距离为h，则，解得，
所以点P位于以为中轴线，半径为1的圆柱面上，
又因为P位于平面上，
则P位于平面与圆柱面的交线上，
根据圆柱面与平面的位置关系，
可得P的轨迹为椭圆的一部分，故B正确；
点P到直线的距离等于，
即P到点与P到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，则动点P的轨迹为抛物线的一部分，所以C正确；
取中点H，则易得，且平面，
易得当与平面和底面的交线垂直时，
过直线的平面与面所成角最小，
可知，则平面和底面的交线与平行，
此时易得平面即为图中的平面，
其中点Q，E，F，G是所在棱的中点，
可得截面图形为正六边形，边长为，
所以其面积为，所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：-1
解析：由题意得，
因为,
所以,
解得.
13．答案：3
解析：
解得
14．答案：
解析：设点,由,
得,
整理得,
因此点P的轨迹是以为圆心,
为半径的圆,点
到直线的距离为,
所以点P到直线l最大距离为.
故答案为:.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)直线l与直线平行，
故设直线l为，
联立方程组，
解得.
直线和的交点.
又直线l过点P，
则，解得，
即直线l的方程为.
(2)设所求圆的标准方程为，
的斜率为-1，
故直线的斜率为1，
由题意可得
解得
故所求圆的方程为.
化为一般式：.
16．答案：(1)3
(2)
解析：(1)以向量为基底，
则有，
因为，，
以三角形为等腰直角三角形，所以，
又因为，，
所以三角形为边长为1的等边三角形，
，
所以，
所以
即对角线的长度为3
(2)因为，，
，，
所以
,
所以
即异面直线与所成角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点
又因为长轴长为，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
或解出交点坐标
(3)设，
则中点是，
于是，
即，
由于C，D在椭圆上，故，
两式相减得到，
即，
故，显然，于是，
故直线的方程是，
整理得
经检验，直线与双曲线有两个交点，合乎题意
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)若D为中点，连接、，
又M为AB的中点，∴，
由，则，
又为等腰直角三角形，
，有，
由，则面，
∵面，∴.
(2)由(1)可构建以D为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴，，，
则，，
若为面的一个法向量，
则，
令，即，
若为面的一个法向量，
则，
令，即，
∴
则平面与平面所成角的余弦值为.
(3)若存在N使得平面平面，且，，
则，，
，
若是面的一个法向量，
则，
令，则，
∴，
可得.
∴存在N使得平面平面，
此时
19．答案：(1)
(2)(i)或
(ii)证明见解析
解析：(1)由题意可知，
因为，所以.
因为，，
得，
又因为在双曲线上，
则，
所以.
所以双曲线C的方程为.
(2)(i)由题意知直线l的方程为，，
联立，
化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以
即m满足：，
所以或
(ii)，
直线AD的方程为，
直线BE的方程为.
联立直线AD与BE的方程，得，
所以，
所以，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，
故点Q在定直线上