辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．可以表示为( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与两焦点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆C的方程为( )
A.B.C.D.
3．若，则n的值为( )
A.2B.8C.2或8D.2或4
4．已知直线过定点Q，若P为圆上任意一点，则的最大值为( )
A.3B.5C.7D.9
5．已知向量，，，若，，共面，则( )
A.2B.3C.4D.6
6．已知双曲线，则C的渐近线方程为是C的离心率为的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．如图，在正方体中，E是棱中点，点F在棱上，且，若平面，则( )
A.B.C.D.
8．据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是( )
A.50B.64C.66D.78
二、多项选择题
9．已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则( )
A.
B.展开式的各项系数和为243
C.展开式中奇数项的二项式系数和为16
D.展开式中不含常数项
10．已知空间中三点，，，则( )
A.与向量方向相同单位向量是
B.在上的投影向量是
C.与夹角的余弦值是
D.坐标原点关于平面的对称点是
11．圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点P处的切线平分.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点，其左、右焦点分别为，.若从发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的方程为
B.过点P且垂直于的直线平分
C.若，则
D.若，则
三、填空题
12．已知抛物线，且P是抛物线上一点，设F是抛物线的焦点，，则的最小值为__________.
13．若直线和直线平行，则m的值为_________.
四、双空题
14．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是，的中点，且，则直线与平面所成角为__________，四棱锥的外接球的表面积为__________.
五、解答题
15．已知.
（1）求n的值；
（2）求的值；
（3）求的值（结果用数字表示）.
16．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点.若，，.
（1）用，，表示；
（2）求对角线的长；
（3）求.
17．在平面直角坐标系中，已知动圆M与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点作两条互相垂直直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形的面积S的最小值.
18．在四棱柱中，已知平面，，，，，E是线段上的点.
（1）点到平面的距离；
（2）若E为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定E点位置；若不存在，试说明理由.
19．通过研究发现对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角可得到向量，这一过程叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.
（1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标；
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C.
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ii）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M，N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G，H，判断是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由排列数公式，
可知.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为椭圆的左焦点为，所以，
因为椭圆C上的点与两焦点构成的三角形的面积的最大值为，
所以，
则，故椭圆C的方程为.
故选：A.
3．答案：A
解析：由组合数的性质可得，解得，
又，所以或，
解得（舍去）或.
故选：A.
4．答案：C
解析：由，得，
所以直线l过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以Q到圆心的距离为，
所以Q在圆外，故的最大值为.
故选：C.
5．答案：B
解析：因为，，，三个向量共面，
所以存在唯一实数对，使得，
所以，
所以，解得.
故选：B.
6．答案：D
解析：充分性：当双曲线C的焦点在x轴上时，由渐近线方程为，知，
所以离心率；
当双曲线C的焦点在y轴上时，由渐近线方程为，知，即，
所以离心率，所以充分性不成立.
必要性：由离心率为，知，所以，
当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线方程为；
当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线方程为，所以必要性不成立.
综上所述，C的渐近线方程为是C的离心率为的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．答案：C
解析：解法一：以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，，，，，
可得，，
设是平面的法向量，则，
令，则，，即，
由，且，可得，
又因为，则，
由平面，可得，
解得.
解法二：如图，取中点M，连接，，易证，
所以平面即为平面，
易知当F为的中点时，，平面，平面，
从而平面，所以
故选：C.
8．答案：A
解析：①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取24，25，35音阶，
排成的音序有种；
②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取13，14，15，35音阶，
排成的音序有种；
③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，
排成的音序有种；
④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，
排成的音序有种.
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：A项，在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，
是展开式的中间两项的二项式系数，
则n为奇数，且与最大，
所以，解得，A项错误；
B项，在中，令，得，故展开式的各项系数和为243，B项正确；
C项，在的展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C项正确；
D项，的展开式的通项公式为，，且r为整数，令，解得，不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：，，，
对于A，与向量方向相同的单位向量是，故A正确；
对于B，在上的投影向量是，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，设平面的法向量是，
则，即，令，可得，，
所以平面的一个法向量是，
原点到平面的距离，
坐标原点关于平面的对称点是，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以，正确，
对于C，记，，
所以，
又，，得到，又，
所以，又，
由，得，错误，
对于D，因为，，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，正确，
故选：ABD.
12．答案：5
解析：抛物线焦点，准线方程为，
如图，过P作准线的垂线，交准线于Q，，过M作准线的垂线，交准线于N，
则，当P，M，N共线时取等号，
所以的最小值为5.
故选：5
13．答案：1
解析：由于两直线平行，所以，解得或，
当时，两直线方程为、，符合题意.
当时，两直线方程为、，
即、，两直线重合，不符合题意.
所以m的值为1.
故答案为：1
14．答案：①.；②.
解析：以中点O为原点，直线为x轴，直线为y轴，过点O与平面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
底面是边长为2的等边三角形，，，
D，E分别是，的中点，且，
所以三棱锥为正四面体，作平面于点H，
则H为等边三角形的重心，
，，，
则，，，，，
则，，.
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，
则为平面的一个法向量，
又，所以，
所以直线与平面所成角为
因为，都为等边三角形，，
所以球心在过中点与平面垂直的直线上，
设球心，半径为R，则，，，
所以，解得，，
故四棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：，.
15．答案：（1）；
（2）8；
（3）660
解析：（1）在中，
令，得，所以.
（2）在中，
令，得，
所以.
（3）的展开式的通项公式为，
因此，
所以.
16．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）如图，连接，，
因为，，，
在中，根据向量减法法则可得，
因为底面是平行四边形，所以，
因为且，所以，
又因为M为线段的中点，所以，
在中，；
（2）因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，
所以，，，
由（1）可知，
所以在平行四边形中，，
，
所以，故对角线的长为；
（3）因为，，
所以
.
17．答案：（1）；
（2）32
解析：（1）设圆M的半径为r，圆的圆心，半径为1，
因为圆M与圆F内切，且与直线相切，
所以圆心M到直线的距离为r，因此圆心M到直线的距离为，且，故圆心M到点F的距离与到直线的距离相等，
据抛物线的定义，曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线E的方程为.
（2）设直线的方程为，，，.
联立方程组整理得，故
所以
.
因为，直线的方程为，
同理可得.
所以
，
当且仅当，即时，取等号.
所以四边形面积S的最小值为32.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）存在点E在靠近的三等分点处
解析：（1）过A作直线平面，
则可以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，
则，，
设面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
所以点到面的距离.
（2）因为E为的中点，所以，
所以，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设，其中，
则，，
设面的一个法向量为，
则有，令，则，，
所以，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
若存在点E，使得二面角的余弦值为，
则，所以，解得（舍去）或，
故存在满足题意，即存在点E在靠近的三等分点处.
另解：
连接，则，易得，所以，
又平面，平面，
所以，，所以，，两两互相垂直，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
同理可得平面的一个法向量，
所以，即，
解得（舍）或，所以存在点E在D处或在靠近的三等分点处.
19．答案：（1）；
（2）（i）；（ii）2
解析：（1）由已知可得，
则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为.
（2）（i）由与的交点为和，
则，即，
由与的交点为和，得，
所以，即，
则斜椭圆C的离心率为.
（ii）
设直线与斜椭圆方程联立得，
设，，所以，，
所以
.
设直线与斜椭圆方程联立得，
所以，所以，
故，
故为定值2.