四川省宜宾市第三中学校教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省宜宾市第三中学校教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．经过，两点的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为( )
A.B.
C.D.
3．已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为( )
A.4B.9C.D.12
4．若正方体的棱长为3，则点B与到平面的距离为( )
A.B.C.D.
5．已知直线l经过定点且与直线平行，若点和到直线l的距离相等，则实数a的值为( )
A.-1B.-2C.-1或-2D.-1或2
6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有两个公共点，则r的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )
A.B.
C.D.
8．已知，为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知方程表示曲线C，则下列结论正确的是( )
A.若曲线C是圆，则该圆的半径为
B.若曲线C是椭圆，则且
C.若曲线C是双曲线，则或
D.若曲线C是双曲线，则焦距为定值
10．已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点A、B，则下列说法正确的是( )
A.切线长最小值为
B.四边形的面积最小值为4
C.最小时，弦所在的直线方程为
D.弦长的最小值为2
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体).如图所示，正八面体，下列说法中正确的有( )
A.平面平面FCB
B.平面平面ECB
C.异面直线与所成的角为
D.若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD成的角的正弦值的范围
三、填空题
12．已知直线，，若，则实数__________.
13．过点的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值为__________.
14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点B，若（O为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为__________.
四、解答题
15．已知平面内两点，.
(1)求过点且与直线垂直的直线l的方程
(2)若是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程
16．已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数m的值
17．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标；
(2)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D.
(1)求证：平面BDE；
(2)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围
19．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为P，长轴长为，直线的倾斜角为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上的两动点A，B均在x轴上方，且，求证：的值为定值；
(3)在(2)的条件下求四边形的的面积S的取值范围
参考答案
1．答案：D
解析：设倾斜角为，因为，
所以，又，
所以.
故选：D
2．答案：C
解析：设等轴双曲线的方程为，
将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得，
因此，该双曲线的方程为.
故选：C.
3．答案：D
解析：根据椭圆方程可得，则，
由椭圆的定义得，，
，
所以的周长为.
故选：D.
4．答案：A
解析：设点B到平面的距离为d，由正方体棱长为3，
所以，
则，
，
由，
得，
即，解得.
所以点B到平面的距离为.
故选：A.
5．答案：C
解析：若直线l经过定点且与直线平行
可设直线l的方程为；
点和到直线l的距离相等可知，
解得或.
故选：C
6．答案：C
解析：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为
圆心为，半径为2，
因为圆与只有两个交点，
即两圆相交，
，
解得.
所以r的取值范围为.
故选：C.
7．答案：B
解析：设，则，
所以点M的轨迹方程为，
设过点的直线与椭圆交于，，
所以，
所以，
因为为中点，
所以，，
所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
即.
故选：B.
8．答案：B
解析：如图，由，，
所以，，
所以是直角三角形，
又，
则，，
，
所以，
即，即，
所以.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：对于A，若曲线C是圆，
则，解得，
所以方程为，
所以圆的半径为，故A正确；
对于B，若曲线C是椭圆，
则，
解得且，故B正确；
对于C，若曲线C是双曲线，
则，
解得或，故C正确；
对于D，若曲线C是双曲线，
则或，
当时，，，
所以焦距为，
当时，，，
所以焦距为，
所以焦距不是定值，故D不正确
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：圆心为，半径为，
连接、，则，
对于A选项，由勾股定理可得，
当时，取最小值，此时，也取最小值，
且，
则，A错；
对于B选项，由切线长定理可得，
又因为，，
所以，，
故，
当且仅当时，等号成立，
故四边形面积的最小值为4，B对；
对于C选项，当取最小值时，，
因为直线l的斜率为1，则，此时，
直线的方程为，
联立可得，此时，
点，线段的中点为，
因为，且，
所以，四边形为正方形，此时，，
且直线过线段的中点，
则直线的方程为，即，C对；
对于D选项，设，
因为，
则，
因为，则，
且E为的中点，
所以，，
且，
当时，取最小值1，
此时，，
故，D错
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：连接AC、BD、EF，
根据题意可设其交于点O，
则A、E、C、F四点共面，
且O为AC、BD、EF，的中点，
所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，
所以，
又平面EAD，平面EAD，
，所以平面EAD，
平面EAD，平面EAD，
所以平面EAD，
平面EAD，平面EAD，
又FB、FC在平面ECB内相交于点F，
所以平面平面FCB，故A对；
分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O，
由，平面BCE，
平面BCE，所以平面BCE，
又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，
因为，都是等边三角形，
所以，
所以，
则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，
设，则，，，
所以，故B错误；
由EF与AC垂直相交，且长度相等，
则四边形AECF是正方形，所以，
则直线与所成的角即为BF与CF所成角，
正中，，
故异面直线与所成的角为，故C对；
根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令，
则，，，
所以，，
设平面FAD的一个法向量为，
则，
所以，即，
令，则，
所以平面FAD的一个法向量为，
因为点P为棱上的动点，
所以设，
则
设直线AP与平面FAD成的角为，
，
又，
当时，，
当或0时，，
故直线AP与平面FAD成的角的正弦值的范围，故D对；
故选：ACD.
12．答案：0或1
解析：，
，
即，解得或1.
故答案为：0或1.
13．答案：8
解析：如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率，
设，则点到l的距离，
又，
当且仅当时，即时，
所以当时，取得最大值8，
故答案为：8
14．答案：
解析：
由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为：与，
过点且与渐近线垂直的直线方程为，
联立，
可解得，
点到渐近线的距离，
因为，
所以点到渐近线的距离为，
所以，
即，所以，
即双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意得，则直线l的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线l的方程为：，
即.
(2)的中点坐标为，
由(1)可知线段垂线的斜率为，
所以线段垂直平分线的方程为，
即.
因为是以C为顶点的等腰直角三角形，
所以点C在直线上，
故设点C为，
由可得：，
解得或，
所以点C坐标为或，
则直线的方程为或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得：，，
解得，
故，
故椭圆C的方程为；
(2)联立与
得，，
，
解得，
设，
则，
故
，
又，
所以，
解得，满足，
故实数m的值为
17．答案：(1)或
(2)存在，，
解析：(1)由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，
四边形面积=，于是，
所以，
解得或，
所以点P的坐标为或.
(2)设，因为，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，
即，
由，
解得或，
所以圆过定点，.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接,
因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以，
又因为平面，平面，所以,
,，平面,
所以平面,
平面,所以，
由题设可知，四边形为菱形，所以,
因为D，E分别是线段AC，的中点，所以,
所以，
又因为，，平面BDE,
所以平面BDE.
(2)
以，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，
则
所以，
平面的一个法向量,
设平面的一个法向量为,
所以，
设，则，
所以，
设，
所以，
因为，
所以二次函数在单调递增，
所以，
所以，
所以锐二面角的余弦值的取值范围.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由长轴长为，可得，.
因为点P上顶点，直线的倾斜角为，
所以中，，
则，
又，
则
椭圆C的方程为.
(2)设，，，，
设B关于原点的对称点，如下图所示：
由对称性可知A，，三点共线，且.
设代入椭圆方程整理可得，
易知，
且，
；
所以，
又
，
所以.
(3)四边形为梯形，
由对称性可知四边形的面积与的面积相等，
点到直线的距离为，
易知，
所以，
令，则
所以，
当且仅当，
即时等号成立；
四边形的的面积S的取值范围是.