备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（附解析），共62页。学案主要包含了离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的均值与方差等内容，欢迎下载使用。
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
（3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
一、离散型随机变量的分布列
1．随机变量的有关概念
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.
有时也用等式表示X的分布列．
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必记结论
（1）随机变量的线性关系
若X是随机变量，，a，b是常数，则Y也是随机变量．
（2）分布列性质的两个作用
①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、常见的离散型随机变量的概率分布模型
1．两点分布
若随机变量X的分布列为
称X服从两点分布，而称为成功概率．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为，k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
3．必记结论
（1）两点分布实际上是n＝1时的二项分布．
（2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和．
三、离散型随机变量的均值与方差
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，
且E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
D(aX＋b)＝a2D(X)．
考向一 离散型随机变量分布列性质的应用
分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
典例1 随机变量X的分布列为
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=,
所以P(|X|=1)=a+c=.
典例2 已知随机变量ξ的分布列为
其中n∈N*,则x的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由分布列的性质,得++…++x=1,
即(1-)+(-)+…+(-)+x=1-+x=1,所以x=.
1．已知离散型随机变量X的分布列如下，则常数C为
A．B．
C．或D．
2．已知随机变量的分布列为
若，则的值为
A．B．
C．D．
考向二 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．求离散型随机变量X的分布列的步骤：
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列.
2．（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
（2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
（3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
3．求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.
典例3 某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为
(1)求的分布列和数学期望.
(2)记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率;
【解析】(1的可能取值为
,
.
则的分布列为
.
(2)因为是偶函数,所以或
故=.
典例4 某高校进行自主招生考试,有A、B、C 3个专业可供选报,每名考生必须选报且只能报其中1个专业,且选报每个专业的概率相等.现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试,且每名同学对专业的选报是相互独立的.
(1)求甲、乙2名同学都选报A专业的概率;
(2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业,
(i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率;
(ii)这4名同学中选A专业的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差.
【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种,因而4名同学的不同选报方法总数为34,
记“甲、乙2名同学都选报A专业”为事件M,不同的选报方法数为32,
则所求概率为P(M)=.
(2)甲、乙2名同学没有选报同一专业,则不同的选报方法总数为×32=54.
(i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N,其选报方法数为×22=24,
则所求概率为P(N)=.
(ii)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
因而ξ的分布列为
E(ξ)=0×+1×+2×+3×,
D(ξ)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×.
3．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额元）、专业二等奖学金（奖金额元）及专业三等奖学金（奖金额元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
（1）求这名学生中获得专业三等奖学金的人数；
（2）若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
（3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望.
参考公式：，.
4．我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调查市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了名市民，现将调查情况整理成被调查者的频率分布直方图（如图）和赞成者的频数表如下：
（1）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行调查，求所选取的人中至少有人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；
（2）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行调查，记选取的人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
考向三 超几何分布
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布．
超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要熟记公式，正确运用.
典例5 为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛,某市重点中学准备举办一次选拔赛,共有60名高二学生报名参加,按照不同班级统计参赛人数,如表所示:
(1)从这60名高二学生中随机选出2人,求这2人在同一班级的概率;
(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(1)从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为=1770,
且这2人在同一班级的基本事件个数为+++=445,
故所求概率P=.
(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
E(X)=0×+1×+2×.
典例6 为了统计某市网友2017年的“双十一”在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市60名网友当天的网购金额情况,得到如下数据统计表:
网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客的人数比恰为2∶3.
(1)求p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);
(2)从网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客中用分层抽样的方法抽取15人,若需从这15人中随机选取3人进行问卷调查,设ξ为选取的3人中网购金额超过2千元的人数,求ξ的分布列和期望.
【解析】(1)由题意得,解得,
所以p==0.15,q==0.10.
如图所示,补全频率分布直方图.
(2)用分层抽样的方法,从中选取15人,则其中网购金额超过2千元的顾客有15×=6(人),网购金额不超过2千元的顾客有15×=9(人),故ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
5．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）：
（1）求该单位乙部门的员工人数？
（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；
（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
6．重庆近年来旅游业高速发展，有很多著名景点，如洪崖洞、磁器口、朝天门、李子坝等.为了解端午节当日朝天门景点游客年龄的分布情况，从年龄在22～52岁之间的旅游客中随机抽取了1000人，制作了如图的频率分布直方图.
（1）求抽取的1000人的年龄的平均数、中位数；（每一组的年龄取中间值）
（2）现从中按照分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列及.
考向四 利用均值、方差进行决策
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
典例7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:
若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;
(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.
【解析】(1)设下周一无雨的概率为p,由题意得p2=0.36,p=0.6.
基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,
则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,
所以基地收益X的分布列为
基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,
所以基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,
则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a,
E(Y)-E(X)=1.6- a．
综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.
典例8 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记其质量指标值为k,当k≥85时,产品为一级品;当75≤k