河南省开封市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷

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注意事项：
1．本试卷共4页，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知为等差数列，且，为方程两根，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
5. 已知圆，圆，则与的位置关系是（ ）
A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
8. 某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年生产新能源汽车2000辆，每辆车利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数据：）（ ）
A. 2.291亿B. 2.59亿C. 22.91亿D. 25.9亿
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（ ）
A. B. 或
C. 弦长的最大值为D. 点一定在直线上
12. 已知棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则（ ）
A. 存在直线平面，使得平面
B. 存在直线平面，使得平面
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知数列an首项为，递推公式为，则______．
14. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，则______．
15. 已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是______．
16. 已知过双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.
（1）求；
（2）求CD的长.
18. 已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值及取得最大值时n的值．
19. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程．
20. 已知数列首项，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
21. 如图，在三棱锥中，平面ABC，．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若，M是PB的中点，求平面ACM与平面PBC的夹角．
22. 已知椭圆，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，．
（1）求C的离心率e；
（2）已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）．
（ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值；
（ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为，求椭圆C的方程．