宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题（三）

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1. 平面的法向量为，平面的法向量为，，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解.
【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且，
所以，解得.
故选：C
2. 等差数列的前项和为，则（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解即可.
【详解】数列等差数列，且，
所以，
故选：D
3. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设与直线平行的直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果．
【详解】设与直线平行的直线l的方程为，
把点代入可得，解得．
因此直线l的方程为
故选：A．
4. 在等比数列中，若，则（ ）
A. 6B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列性质直接求解即可.
【详解】因为，所以（负值舍去），
所以.
故选：A
5. 数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A. 1011B. 1013C. 2022D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】利用数列的递推公式以及数列的周期性求解.
【详解】因为，，
所以
所以数列是以3为周期周期数列，
且列，
所以，
故选:B.
6. 《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为（ ）
A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】设夏至的日影长为，公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二节气，其日影之长依次成等差数列，
设夏至的日影长为，公差为，
经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺，
这十二节气的所有日影子长之和为84尺，
所以，解得，
所以大雪的日影子长为（尺）.
故选：D.
7. 如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
8. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意求出；再根据及椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案.
【详解】如图所示，

由题意得：.
因为，把代入椭圆方程可得，解得.
取.
则在中，.
因为，
所以，
由椭圆定义可得：，整理得：，
所以，即.
则椭圆的离心率 ．
故选：A．
二、多选题
9. 已知等差数列的前项和是，且，则（ ）
A. B. C. D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得当时，；当时，；对选项逐一判断.
【详解】由，所以，即，
所以当，时，；当，时，；
所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对.
故选：BD
10. 过点的直线与圆相切，则直线的倾斜角可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设出直线方程，根据直线与圆的位置关系求出斜率，即可得解．
【详解】设过点P的直线方程为，则由直线与圆相切知＝1，解得k＝0或k＝.故直线l的倾斜角为0°或60°.
故选：AD．
11. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（ ）
A. 离心率为B. 焦距为
C. 两条渐近线互相垂直D. 焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.
【详解】双曲线，可得，，，
则双曲线的离线率为，故A正确；
焦距，故B错误；
渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；
焦点到渐近线的距离为，故D正确；
故选：ACD.
12. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线C为椭圆，则
C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则
D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.
【详解】A正确：曲线C圆即 ；
B错误：C为椭圆
C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，
D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.
故选：AC
三、填空题
13. 方程表示圆，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准形式，从而可列不等式，求解即可.
【详解】将圆的方程化为，
所以，解得或.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案.
【详解】当时，.
当时，.
因为，
所以，.
故答案：.
15. 已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最小值为__________，最大值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设椭圆上一点，利用点到直线的距离公式计算出点到直线的距离的表达式，结合辅助角公式以及正弦函数的有界性可求得的最小值和最大值.
【详解】设椭圆上一点，
所以，点到直线的距离为
，
当时，取最小值，即；
当时，取最大值，即.
故答案为：；.
16. 已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出，再由与的关系求通项公式，再由错位相减法求即可得解.
【详解】因为，，所以，
所以，
因为，所以，
两式相减可得，，即，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，
令，
，
，
两式相减得：
.
故答案为：
四、解答题
17. 已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.
18. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明；
（2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，，
所以，，，，
则，，
，
，即.
【小问2详解】
当时，，，，
则，，
所以
.
故：.
19. 已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前n项和，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.
小问1详解】
因为，，成等差数列，所以，
又因为数列的公比为2，所以，
即，解得，所以．
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以， ①
， ②
①②得
．
所以．
又因为，
所以是递增数列，所以，所以．
20. 已知抛物线.当过焦点且斜率为的直线交于两点时，.
（1）求的标准方程；
（2）若过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，根据根与系数关系以及弦长公式列方程，求得，进而求得的标准方程.
（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据列方程，化简求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，
直线的方程为，
由消去并化简得，
设，则，
所以，
所以抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
依题意可知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
由，
解得，
设，则，
则
，
由于，所以，
解得，所以直线的方程为.
21. 将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】(1)作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到线线平行，得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，从而得到线面角的正弦值.
【小问1详解】
连接，如图所示，

∵长方形中，，分别是，的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
又∵长方体中且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，得.
又∵平面，平面，
∴平面
【小问2详解】
以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
设为直线与平面所成角，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22. 已知椭圆，焦距为2，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积.
【答案】（1）
（2）长轴长为，短轴长为，
【解析】
【分析】（1）根据焦距和离心率得到，进而求出，得到椭圆方程；
（2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A点坐标，得到面积.
【小问1详解】
由题意得，解得，
故，
故椭圆方程为；
【小问2详解】
由题意得，
椭圆的长轴长为，短轴长为，

将代入中得，，
不妨设，
显然⊥轴，故.