河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在中，，，，下列三角函数值正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，在中，，，，
，
，，，，
∴、、错误，正确，
故选B．
2. 用配方法解一元二次方程时方程变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
故选：B．
3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）

A. 4米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】解：过点B作于点C，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米
∴ ，
∴米，
在中，，
由勾股定理得米 ，
故选：D．

5. 已知一直角三角形面积为10，两直角边和为9，则斜边长为（ ）
A. 7B. 9C. D.
【答案】D
【解析】解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得
解得：，，
∴另一直角边为或，
∴直角三角形两直角边为4，5，
∴直角三角形的斜边为．
故选：D．
6. 如图，点是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点是线段的黄金分割点，由图可知,AC为较短边,
∴.
故选B
7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
8. 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴；
故选D．
9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A △ADE∽△ECFB. △ECF∽△AEF
C. △ADE∽△AEFD. △AEF∽△ABF
【答案】A
【解析】在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
故选A．
10. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
∴
故选：D．
11. 正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】如图，为边上的格点，连接，
根据勾股定理，，
，
，
所以，，
所以，是直角三角形，
．
故选：B．
12. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵，小正方形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴，
∵小正方形的边长为，即，
∵，
即，
故，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．）
13. 如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是______．
【答案】
【解析】解：∵，
∴当时，，
∴当时，方程成立，
∴是方程的一个解，
故答案为：．
14. 如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则_________．
【答案】
【解析】解：在正方形中，，，
∴，
由题意可知，则，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知，在中，，，点在边上，点在边上，，当______时，则；
【答案】或
【解析】设，
，
，
，
，
∵，
，
即，
整理得，
解得，，
即BD的长为或，
故答案为或．
16. 如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为______．
【答案】9
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D是中点，
∴．
故答案为：9．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）．
（2）解方程：．
解：（1）
．
（2），
，
∴，
∴．
18. 已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
解：（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为±，方程的另一个根是5．
19. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
解：（1）∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
20. 如图，是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在AB，上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形零件的边长为x cm，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴x=，
答：正方形零件的边长为．
21. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
解：（1）由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
（2）∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
22. 如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
解：（1）设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为．
依题意，得，
解得．
当时，（舍去），
当时，．
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
（2）由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解．
23. 在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有30°与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h．
（1）①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）；
②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）；
（2）请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边．
解：（1）①如图1，为等腰直角三角形，，
则；
如图2，为含30°的直角三角形，
，，，
则，．
综上，等腰直角三角形直角边长为，含30°的直角三角形直角边长分别为和．
②如图3，由题意可知，
∴四边形是矩形，
由图可得，，
，
∴
（2）如图4，即为所作图形．
24. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）如图1，连接，求的度数和的值;
（2）如图2，当点F在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当点F在射线上时，直接写出的长．
解：（1）矩形中，，，
，，，
，
，
∴，
由矩形和矩形得，，
，即，
，
；
（2）如图2，当点在射线上时，
∵矩形和矩形，
∴，，
，，
，
∴，，
∵，
∴，
（3）过作于点，
∵矩形和矩形，
∴，
，
，，
，
，，
，，
，
，
可以设，
，
，
，
．