山东省潍坊市2024年中考数学模拟汇编试题（含解析）

这是一份山东省潍坊市2024年中考数学模拟汇编试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据绝对值的性质解答即可．
详解：|1-|=．
故选B．
点睛：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米,数据0.000036用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：0.0000036=3.6×10-6；
故选C．
点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图所示的几何体的左视图是( )
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】D
【解析】分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
详解：从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线．
故选D．
点睛：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
详解：A、a2•a3=a5，故A错误；
B、a3÷a=a2，故B错误；
C、a-（b-a）=2a-b，故C正确；
D、（-a）3=-a3，故D错误．
故选C．
点睛：本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5. 把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
详解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2=∠3=45°，∠3=∠4=30°，
故∠1的度数是：45°+30°=75°．
故选C．
点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
6. 如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
（1）作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；
（2）以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；
（3）连接
下列说法不正确的是( )
A. B.
C. 点是的外心 D.
【答案】D
【解析】分析：根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
详解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD=AB，
∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=AB2，
故A、B、C正确，
故选D．
点睛：本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7. 某篮球队10名队员的年龄结构如下表,已知该队队员年龄的中位数为21．5,则众数与方差分别为( )
A. 22,3 B. 22,4 C. 21,3 D. 21,4
【答案】D
【解析】分析：先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2，再利用众数和方差的定义求解可得．
详解：∵共有10个数据，
∴x+y=5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即，
∴x=3、y=2，
则这组数据的众数为21，平均数为=22，
故选D．
点睛：本题主要考查中位数、众数、方差，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值及方差的计算公式．
8. 在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9. 已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
【答案】B
【解析】分析：分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
10. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据中心对称的性质解答即可．
详解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选D．
点睛：此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若,则的值是( )
A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 不存在
【答案】A
【解析】分析：先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合，即可求出m的值．
详解：∵关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴ ，
解得：m＞-1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵，
∴=4m，
∴m=2或-1，
∵m＞-1，
∴m=2．
故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于-、两根之积等于．
12. 如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】D
【解析】分析：应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
详解：当0≤t＜2时，S=2t××（4-t）=-t2+4t；
当2≤t＜4时，S=4××（4-t）=-2t+8；
只有选项D的图形符合．
故选D．
点睛：本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,共18分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)
13. 因式分解:____________．
【答案】
【解析】分析：通过提取公因式（x+2）进行因式分解．
详解：原式=（x+2）（x-1）．
故答案是：（x+2）（x-1）．
点睛：考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
14. 当____________时,解分式方程会出现增根．
【答案】2
【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15. 用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下． 把显示结果输人下侧的程序中,则输出的结果是____________．
【答案】34+9．
【解析】分析：先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得．
详解：由题意知输入的值为32=9，
则输出的结果为[（9+3）-]×（3+）
=（12-）×（3+）
=36+12-3-2
=34+9，
故答案为：34+9．
点睛：本题主要考查计算器-基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
16. 如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为____________．
【答案】
【解析】分析：连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．
详解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
∵，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=1×=，
∴点M的坐标为（-1，），
故答案为：（-1，）．
点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．
17. 如图,点的坐标为,过点作不轴的垂线交直于点以原点为圆心,的长为半径断弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点,以原点为圆心,以的长为半径画弧交轴正半轴于点；…按此作法进行下去,则的长是____________．
【答案】
【解析】分析：先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
详解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2=，点A2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）
以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），
则的长是．
故答案为：．
点睛：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．
18. 如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行____________小时即可到达 (结果保留根号)
【答案】.
【解析】分析：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
详解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），
所以 PQ-90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以（小时）
故答案是：．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
三、解答题
19. 如图,直线与反比例函数的图象相交于,两点,连接．
(1)求和的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，；(2) ．
【解析】分析：（1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
详解：(1)点在直线上,
,解得，
，
反比例函数的图象也经过点，
,解得；
(2)设直线分别与轴,轴相交于点,点，
当时,即,，
当时,，，
点在直线上，
．即，
．
点睛：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
20. 如图,点是正方形边上一点,连接,作于点,手点,连接．
(1)求证:；
(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】分析：（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x-2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
详（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=-8（舍去），
∴EF=x-2=4，
在Rt△BEF中，BE=，
∴sin∠EBF=．
点睛：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
21. 为进一步提高全民“节约用水”意识,某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区户家庭的月用水量,绘制了下面不完整的统计图．
(1)求并补全条形统计图；
(2)求这户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
(3)从月用水量为和的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查,求选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的概率．
【答案】（1）n=20，补全条形图见解析；（2）这20户家庭的月平均用水量为6.95立方米，小莹所住小区月用水量低于的家庭户数为231；(3)，
【解析】分析：（1）根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再求出5m3和8m3的户数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用水量的家庭户数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得．
详解：（1）n=（3+2）÷25%=20，
月用水量为8m3的户数为20×55%-7=4户，
月用水量为5m3的户数为20-（2+7+4+3+2）=2户，
补全图形如下：
（2）这20户家庭的月平均用水量为=6.95（m3），
因为月用水量低于6.95m3的有11户，
所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420×=231户；
（3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e，
列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，
所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
22. 如图,为外接圆的直径,且．
(1)求证:与相切于点；
(2)若, ,求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=．
【解析】分析：（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
详解：证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF=，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB-AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
点睛：本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
23. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
【答案】（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三: 型挖掘机9台,型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
详解：(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得
解得
所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．
(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得
，
因为，解得，
又因为,解得,所以．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；
案二:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；
方案三:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．
,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,
当时，，
此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
24. 如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．
(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．
①求四边形的面积；
②直线上有一动点,求周长的最小值．
(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．
【答案】(1)①；②周长的最小值为9；(2)的长为或．
【解析】分析：（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．
详解：（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，
∴DE=FH=3，
又BF：FA=1：5，
∴AH=2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴，即，
∴HM=1.5，
根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，
四边形BHMM′的面积=×6×1.5+×4×1.5＝7.5；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，
∵直线EF垂直平分CD，
∴CN=DN，
∵MH=1.5，
∴DM=2.5，
在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，
∴MC2=62+（2.5）2，
即MC=6.5，
∵MN+DN=MN+CN=MC，
∴△DNM周长的最小值为9．
（2）∵BF∥CE，
∴，
∴QF=2，
∴PK=PK'=6，
过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，
当点P在线段CE上时，
在Rt△PK'E'中，
PE'2=PK'2-E'K'2，
∴PE′＝2，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴，即，
解得：QF′＝，
∴PE=PE'-EE'=2−＝，
∴CP＝，
同理可得，当点P在线段DE上时，CP′＝，如图4，
综上所述，CP的长为或．
点睛：此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．
25. 如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为,,；（3）的解析式为或.
【解析】分析：（1）把和代入求出a、c的值，进而求出y1，再根据平移得出y2即可；
（2）抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；
（3）设,则,根据对称性得,分点在直线的左侧或右侧时,结合以构成的三角形与全等求解即可.
详解:(1)由题意知，
，
解得，
所以,抛物线y的解析式为；
因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，
所以抛物线的解析式为，
即；
(2)抛物线的对称轴为,设,已知，
过点作轴于,
则 ，
，
，
当时，
即，
解得或；
当时,得，无解；
当时,得,解得;
综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,,.
(3)设,则,
因为关于对称,
所以,
情况一:当点在直线的左侧时,
,
,
又因为以构成的三角形与全等,
当且时,,
可求得,即点与点重合
所以,
设的解析式,
则有
解得,
即的解析式为,
当且时,无解,
情况二:当点在直线右侧时,
,
,
同理可得
的解析式为,
综上所述, 的解析式为或.
点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a、c的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度．
a
b
c
d
e
a
（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
b
（a，b）
（c，b）
（d，b）
（e，b）
c
（a，c）
（b，c）
（d，c）
（e，c）
d
（a，d）
（b，d）
（c，d）
（e，d）
e
（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）