第20课时 等腰三角形-【备战中考】2025年中考数学一轮总复习课件

这是一份第20课时 等腰三角形-【备战中考】2025年中考数学一轮总复习课件，共36页。
知识点1 角平分线和线段垂直平分线的 性质与判定
到角两边的距离相等
到线段两个端点的
知识点2 等腰三角形和等边三角形的性 质与判定
知识点3 等腰三角形的性质拓展
名师指津1. 等角对等边是证边相等的常用办法.2. 三线合一是证两条边相等、两个角相 等以及两条直线互相垂直的重要依据.3. 分类讨论和方程思想是解决等腰三角 形多解问题的两大法宝，画出图形，数 形结合是解这类题目的基本方法.考虑全 面，分类讨论，逐一解决，不要漏解.4. 重要结论：
考点一　角平分线的性质与判定
例1　 （1）如图1，AE，BE，CE分别 平分∠BAC，∠ABC，∠ACB， ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面 积为36，则△ABC的周长为（　C　）
（2）如图2，点E是BC的中点， AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，连接DE. 下列四个结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD. 其中成立的是 .（填序号）
考点二　线段垂直平分线的性质与判定例2　 （1）如图1，在△ABC中，AB， AC的中垂线DM，EN分别交BC于点 M，N，连接AM，AN. 若∠BAC＝ 79°，则∠MAN的度数为（　C　）
（3）如图3，CD是∠ACE的平分线， DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点 F，DE⊥BE于点E. 若BC＝3cm，AC ＝5cm，则CE＝ ⁠cm.
考点三　等腰三角形的性质与判定例3　 （1）如图1，在△ABC中，D，E 分别为AB，AC边上的点，DA＝DE， DB＝BE＝EC. 若∠ABC＝130°，则 ∠C的度数为（　D　）
（2）如图，△ABC为等腰三角形，AB ＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF. ①如图2，若AF⊥CB，AB＝10，BF ＝8，求线段AC的长；

②如图3，点E为线段AB上一点，连接 CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF， 点D为AF的中点，连接CD. 求证： ∠ACD＝∠BCE.
[答案]解： ②证明：∵∠ACE＝∠B，∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC. ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，∴∠AEC＝∠BAC， ∴AC＝EC. 如答案图，延长BC至点G，使CG＝CF，连接AG. ∵CG＝CF，且点D为AF的中点，∴CD∥AG，
∴∠ACD＝∠GAC. ∵∠CEA＝∠ACB，∴∠ACG＝∠CEB. ∵AB＝BC，AE＝BF，∴BE＝CF＝CG. 又∵AC＝CE， ∴△ACG≌△CEB （SAS），∴∠GAC＝∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE.
考点四　等边三角形的性质与判定例4　　（1）（2024·自贡）如图1，等 边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（　D　）
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是 边AD上一动点（不与点A，D重合）. 边BC关于BE对称的线段为BF，连接 AF. ①若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等 边三角形；
[答案]解： ①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°.
∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC＝BA，
∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝60°，
∴△ABF是等边三角形.
②延长FA，交射线BE于点G，△BGF 能否为等腰三角形？如果能，求此时 ∠ABE的度数；如果不能，请说明理由.
[答案]②解：由①得BF＝BC＝BA，
∵E是边AD上一动点，
∴BA＜BE＜BG，∴BF≠BG.
若FB＝FG，则有∠FGB＝∠FBG＝ ∠CBG，
此时E与D重合，不合题意.
若GF＝GB，连接CG 交AD于点H，如答案图，
∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝ BG，
∴△CBG≌△FBG（SAS），
∴FG＝CG，∠BFG＝∠BCG.
∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF.
∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝ ∠BCG.
∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，
∴∠BAF＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝180°－∠BAD＝90°，
∴∠FGC＝180°－∠HAG－∠AHG＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠GBC＝90°－ 67.5°＝22.5°.综上所述，△BGF能为等腰三角形，此 时∠ABE的度数为22.5°.
1. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线 DE分别与AB，AC边交于点D，E， BC边的中垂线FG分别与BC，AC边交 于点F，G，连接BE，BG. 若△BEG的 周长为16，GE＝1，则AC的长为 （　B　）
2. （2024·赤峰）等腰三角形的两边长分 别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则 这个三角形的周长为 ⁠.3. 已知△ABC为等边三角形，点D在BC 边上.
【基本图形】（1）如图1，以AD为一 边作等边△ADE，连接CE. 请直接写出 AC，CE，CD之间的数量关系；
解：（1）CE＋CD＝AC.

图1 图2
【迁移运用】（2）如图2，点F是AC边 上一点，以DF为一边作等边△DEF， 连接CE. 求证：CE＋CD＝CF；
解：（2）证明：如答案图1，过点D作 DG∥AB，交AC于点G. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B ＝60°，∴△CDG为等边三角形，∴CD＝DG＝CG.
（答案图1）
∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60 °.∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，即∠CDE＝∠GDF，∴△CDE≌△GDF（SAS），∴CE＝GF，∴CE＋CD＝GF＋CG＝CF.
【类比探究】（3）如图3，点F是AC边 的延长线上一点，以DF为一边作等边 △DEF，连接CE. 试探究CE，CD， CF之间存在怎样的数量关系，请写出你 的结论，并说明理由.
解： （3）CD＋CF＝CE. 理由如下：如答案图2，过点D作DG∥AB，交AC 于点G. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B＝60°，∴△CDG为等边三角形，∴CD＝DG＝CG. ∵△DEF为等边三角形，