河北省部分地区2025届高三上学期模拟考试（三）数学试卷

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一、未知
1．设全集，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数z满足，z在复平面内对应的点在直线y=x上，则a=（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．已知数列满足，设，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆，直线与圆O相交于A、B两点，若为直角三角形（O为坐标原点），则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．从编号为1，2，3，4，5的五个小球中随机选取两个，将这两个小球上的数字相加. 记事件A为 “得到的和为偶数”，事件B为 “所选两个小球编号相邻”，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，设，则的值约为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为4，点E，F分别是棱PB，PC上的动点（不包含端点），且EF//底面ABC. 设EF与底面ABC所成角为，的面积为S，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数的定义域为，且满足. 若在上存在极值点，且，设，则在上最大值和最小值之和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆，过椭圆左焦点F的直线l交椭圆C于A、B两点，设AB中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点. 下列说法正确的是（ ）
A．若，则椭圆C的方程为.
B．若直线l垂直于x轴，.
C．若直线l斜率为1，，则为锐角（O为原点）.
D．若A关于x轴对称点A’在直线BM上，则直线l斜率为.
10．已知数列的前n项和为，且，定义数列如下：，当n≥2时，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列.
B．(n≥2).
C．数列的前n项和的最大值为.
D．若(n≥2)，则数列的前n项和.
11．已知函数，其图像上存在关于原点对称的点，设，下列说法正确的是（ ）
A．.
B．若，则在上单调递减.
C．若，，方程最多有4个不同的实根.
D．若，()是的两个零点，则.
12．在二项式的展开式中，若存在某一项的系数与二项式系数之比为6:1，设该项为第项，试写出一个满足条件的m与k的关系式 .
13．已知圆C：，点P(1，1)，过点P作两条相互垂直的直线，，交圆C于A、B两点，交圆C于D、E两点，则的最大值为 .
14．在棱长为6的正四面体形状的中国传统走马灯（假设其骨架结构为正四面体）ABCD中，四个面分别绘制有“梅兰竹菊”四君子图案.点E，F分别在棱AB，AC上，且AE=2，AF=3. 一只小虫从点E出发，沿着走马灯的棱爬行，若小虫爬行的路线需经过面ABD、面BCD且最终到达点F，小虫在面ABD内爬行时，到棱AD的最短距离始终保持为，在面BCD内爬行时，到棱CD的最短距离始终保持为，则的取值范围是 .
15．已知函数.
(1)若在时取得极值，求a的值，并讨论的单调性；
(2)令，当时，判断在区间内是否存在零点.
16．在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且满足.
(1)求角A的大小；
(2)设函数，若对于任意的，不等式f(x)≥m恒成立，求m的取值范围.
17．如图，在三棱柱中，，，，，二面角的余弦值为.
(1)证明：四边形为菱形；
(2)侧棱上是否存在点D，使得直线AD与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
18．某商场举办周年庆抽奖活动，抽奖箱中有红、蓝两种颜色的小球，除颜色外无其他区别. 每次抽奖时，先从抽奖箱中随机取出一个小球，记录颜色后放回，再进行下一次抽奖. 已知抽到红球的概率为，抽到蓝球的概率为.
(1)若连续抽3次，求恰有2次抽到红球的概率；
(2)用X表示抽到红球时的抽奖次数，求X的分布列和数学期望；
(3)在抽奖过程中，若抽到红球得2分，抽到蓝球得1分. 设抽奖n次的总得分为Y，求Y的数学期望，并根据数学期望分析抽奖次数对总得分的影响.
19．已知椭圆，离心率且过点(2，0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于P、Q两点，设，，线段PQ中点为M，直线OM斜率为，且. 数列满足，求的前项和.
(3)设，给定正整数N，若存在正整数m，使对任意n≥N都有≤，求N的最小值.