苏科版（2024）七年级下册9.5 多项式的因式分解习题

这是一份苏科版（2024）七年级下册9.5 多项式的因式分解习题，文件包含苏科版数学七下培优提升训练专题912因式分解的应用及阅读问题大题专练原卷版doc、苏科版数学七下培优提升训练专题912因式分解的应用及阅读问题大题专练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2021秋•崇川区校级月考）已知△ABC三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0，试判断△ABC的形状．
2．（2019春•徐州期中）已知x+y＝7，xy＝6．试求：（1）x﹣y的值；（2）x3y+xy3的值．
3．（2019春•邗江区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．
4．（2022秋•大丰区期中）我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即．
（1）说明一定是111的倍数；
（2）①写出一组a、b、c的取值，使能被11整除，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ；②若能被11整除，则a、b、c三个数必须满足的数量关系是 ．
5．（2021春•鼓楼区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F（123）＝6．
（1）计算：F（243），F（761）的值；
（2）已知一个相异数p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），则F（p）＝ ，
（3）若m，n都是“相异数”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），若k，当F（m）+F（n）＝16时，求k的值．
6．（2021春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片
【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【问题解决】
（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的 ；
（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；
（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式： （直接写出结果，不需要画图）．
7．（2022秋•大兴区期中）设是一个两位数，如果a+b可以被9整除，则这个两位数可以被9整除吗？为什么？
8．（2022春•郫都区校级月考）我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
（1）已知a，b，c是△ABC的三边且满足a2+2b2＝2b（a+c）﹣c2.判断△ABC的形状；
（2）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3）．请你求出原来的多项式并将原式分解因式．
9．（2022春•招远市期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ．
（2）利用上述方法进行因式分解：a2﹣10a+21．
（3）求4x2+4x+5的最小值．
10．（2022春•江津区期末）一个三位正整数，百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，如果满足a＝b+c，那么称这个三位数为“开心数”．
（1）三位正整数中，最小的“开心数”为 ，最大的“开心数”为 ．
（2）如果一个“开心数”满足百位为6，且能被6整除，那么称这个“开心数”为“顺利开心数”，请求出所有的“顺利开心数”．
11．（2022秋•玄武区期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作．
（1）（）能被11整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果（x+y+z）能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
12．（2022春•建邺区校级期末）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．
（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn＝2，求3m2+3n2﹣1的最小值．
13．（2022春•丹阳市期中）阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
（1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
A．4
B．8
C．±8
D．±16
（2）若多项式x2+4x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 ；
（3）配方：x2﹣6x﹣10＝（x﹣3）2﹣ ；x2+2x+4＝ ；
【知识运用】
（4）通过配方发现，代数式x2﹣4x+7有最小值，则最小值为 ；
（5）利用配方法因式分解：a2+2a﹣3＝a2+2a+ ﹣4＝（a+1）2﹣4＝ ；
（6）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，则m＝ ，n＝ ；
（7）若M＝（a+1）（a﹣3），N＝2（a﹣1）（a﹣2），则M N（用“＜、＞”号填空）．
14．（2022春•工业园区校级期中）如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a﹣b+3ab2+b2展开式中的系数……这就是著名的杨辉三角：
（1）（a+b）n的展开式共有 项，系数和为 ．
（2）根据上面的规律，则（a﹣b）4的展开式＝ ．
（3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1．
15．（2021秋•崇川区期末）（阅读材料）
我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）．
（探索规律）
（1）F（15）＝ ，F（24）＝ ，…；
（2）F（4）＝1，F（9）＝1，F（25）＝ ，…；
猜想：F（x2）＝ （x是正整数）．
（应用规律）
（3）若F（x2+x），且x是正整数，求x的值；
（4）若F（x2﹣11）＝1，请直接写出x的值．
16．（2021秋•兴化市校级月考）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．
（1）判断674，243是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字小7的所有“好数”的个数，并说明理由．
17．（2021春•丹阳市期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当x1时，求x3﹣x2﹣x+2的值．
为解答这题，若直接把x1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形，因x1，得x﹣1．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式，可得原式（x3﹣2x2﹣2x）+2[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2[x（x﹣1）2﹣3x]+2（3x﹣3x）+2＝2．
方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．
原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）当x2+x﹣1＝0时，求x4﹣3x2+1的值；
（2）当x1时，求x3+2x2﹣x+1的值．
18．（2021春•淮安区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（1）选择题：图1是一个长2a、宽2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是 （填序号）．
A．2ab
B．（a+b）2
C．（a﹣b）2
D．a2﹣b2
（2）如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积．据此，你能发现（a+b+c）2＝ ．
（3）如图4，两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图4，用不同的方法计算这个图形的面积．你能发现a，b，c之间具有怎样的相等关系？（用最简形式表示）
19．（2021春•梁溪区期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+7b）（8a+5b）长方形，那么x+y+z＝ ．
20．（2022春•金湖县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；
②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注；
（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝ ；
（3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
请你综合以上表述，求当x，y满足什么条件时以下代数式有最小值，并确定它的最小值．
①x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20；
②2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10．
21．（2022春•乐平市期末）阅读下列分解因式的过程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
22．（2022春•郓城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝a，则原式＝（a+2）（a+6）+4（第一步）
＝a2+8a+16（第二步）
＝（a+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）
若彻底，直接跳到第（3）问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果： ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
23．（2022春•保定期末）教材中写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如；求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4﹣4+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
解决下列问题：
（1）若多项式x2+6x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 ；
（2）分解因式：x2+6x﹣16＝ ；
（3）若x＞﹣1，比较：x2+6x+5 0（填“＞，＜或＝”），并说明理由；
（4）求代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大或最小值．
24．（2022•南京模拟）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．
（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
25．（2022春•绍兴期末）浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ；
（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；
（3）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b有最小值，并求出这个最小值；
（4）设a为实数，b为正整数，当多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b取得最小整数时，则a＝ ，b＝ ．
26．（2022春•北海期末）一般地，我们把如a2﹣2ab+b2及a2﹣2ab+b2的多项式叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3．
原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
再如：求代数式x2+4x﹣5的最小值．
因为x2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9
且（x+2）2≥0
所以，当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．根据以上材料，回答下列问题：
（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝ ；
（2）代数式x2+2x+3的最小值是 ；
（3）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
27．（2022春•普宁市期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by
解：原式＝（ax+ay）+（bx+by）
＝a（x+y）+b（x+y）
＝（a+b）（x+y）
例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣xy+5x﹣5y；
②m2﹣n2﹣6m+9；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试判断△ABC的形状．
28．（2022春•大渡口区期末）对于任意一个四位正整数x，若x的各位数字都不为0．且十位数字与个位数字不相等，千位数字与百位数字不相等，那么称这个数为“多彩数”．将一个“多彩数”a的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F（a），例如，“多彩数”a＝1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234，134，124，123，这四个三位数之和为234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．
（1）计算F（1564）和F（6321）；
（2）若“多彩数”b＝8900+10m+n（1≤m≤9，1≤n≤9，m、n都是正整数），F（b）也是“多彩数”且F（b）能被8整除，求b的值．
29．（2022秋•崇川区期中）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ；
（2）利用图3解决下面问题若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝32，则a2+b2+c2＝ ．
（3）如图4，四边形ABCD，NGDH，MEDQ是正方形，四边形PQDH和EFGD是长方形，其中EFGD的面积是200，AE＝10，CG＝20，求图中阴影部分的面积．
30．（2022秋•南岸区校级期中）两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“友好数“．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是3+7，8+2，∵3+7＝8+2＝10，∴37和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是1+2+3，5+1，∵1+2+3＝5+1＝6，∴123和51互为“友好数”．
（1）直接写出103所有两位数中的“友好数”；
（2）若两个不同的三位数m＝100a+40+b、n＝200+10c（1≤a＜5，0＜b＜5，0＜c≤9，且a、b、c为整数）互为友好数，且m﹣n是11的倍数，记P，求P的所有值．
小明的证明思路
因为_①
＝② +（x+y+z），
又因为代数式②，（x+y+z）都能被3整除，
所以能被3整除．
①x2﹣6x+7
＝x2﹣6x+9﹣2
＝（x﹣3）2﹣2
∵（x﹣3）2≥0
∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2
故当x＝3时代数式x2﹣6x+7的最小值为﹣2．
②﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+4
＝﹣（x+1）2+4
∵﹣（x+1）2≤0
∴﹣（x+1）2+4≤4
故当x＝﹣1时代数式﹣x2﹣2x+3的最大值为4．