黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）

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这是一份黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（原卷版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的实部与虚部之和为（）
A. B. C. 1D.
3. 已知等差数列前6项和为60，且，则（）
A. 5B. 10C. 15D. 20
4. 在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为（）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（）
A. B. C. 6D.
6. 若曲线的一条切线方程是，则（）
A. B. 1C. D. e
7. 已知圆锥侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
8. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（）
A. B. 与可以作为平面内向量一组基底
C. D. 在上的投影向量为
10. 在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（）
A. 为钝角三角形
B. 的最大内角是最小内角的2倍
C. 若为中点，则
D. 若，则
11. 设数列an的前项和为，若，则称数列bn是数列an的“均值数列”．已知数列bn是数列an的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（）
A.
B. 设数列an的前项积为，则有最大值，无最小值
C. 数列中没有最大项
D. 若对任意，成立，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，且为第二象限角，则___________.
13. 已知函数在处取得极大值，则_________．
14. 已知数列an满足，，则______；设数列an的前项和为，则______．（第二个空结果用指数幂表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
16. 数列满足．
（1）求数列通项公式．
（2）设，求数列的前n项和．
17. 在中，角的对边分别是，已知．
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积最大值．
18. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列an．
（1）求数列an的通项公式；
（2）证明：当时，
（3）若数列bn满足，对于，证明：．
19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
（1）当时，判断是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；
（2）是否存在使极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的极值差比系数的取值范围．