江西省景德镇一中2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省景德镇一中2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了 如图，在中，，，，则的面积为等内容，欢迎下载使用。
2.请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵中的指数是1，
∴是一次函数，
∴A选项不符合题意；
∵不是二次函数，
∴B选项不符合题意；
∵不二次函数，
∴C选项不符合题意；
∵中的指数是，且是整式，
∴是二次函数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
2. 如图，这是由6个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：从上往下看，共有两层，第一层有三个正方形，第二层有两个不相邻的正方形，
故选：B．
3. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A. 24B. 30C. 40D. 48
答案：A
解析：解：在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 图象开口向下B. 图象的对称轴为直线
C. 图象与轴的交点坐标为D. 当时，随的增大而增大
答案：C
解析：解：二次函数，
，则该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意；
当时，，
∴图象与轴的交点坐标为，故选项C符合题意；
故选：A．
5. 周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ）
A mB. mC. mD.
答案：C
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m是任意实数）．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③⑤
答案：B
解析：解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①②正确；
∵当时，，
∴，故③错误；
∴，即，故④正确；
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，即，
∴，
∴，故⑤错误；
∴故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知为锐角，且，则______°．
答案：60
解析：解： ∵
．
故答案为：60．
8. 写出一个对称轴为轴．且过点的抛物线的函数表达式：______．
答案：（答案不唯一）
解析：解：二次函数的对称轴为轴，
一次项系数为0，
又二次函数经过点，
常数项为，
满足题意的抛物线的函数表达式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
9. 若将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，则______．
答案：
解析：解：抛物线向右平移2个单位长度得，即，
，
，
故答案为：．
10. 桔槔，亦叫“桔皋”．我国古代井上汲水的工具．它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起．桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧．如图．这是《天工开物·水利》中的桔槔图，若竹竿,两处的距离为12m，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面．此时竹竿与绳子的夹角为．则绑重物的B端到悬绑汲器的绳子的距离是______m．（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：，，）
答案：
解析：解：如图，过点作垂直悬绑汲器的绳子于，
由题意得，在中，
，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：．
11. 如图．在每个小正方形的边长均为1的方格图中．点A，C，M，N均在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为______．
答案：1
解析：解：如图，平移至，
则，
连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
12. 如图，在正方形中，，P为边的中点，Q为边上一点，连接，，，若为等腰三角形，则的长为______．
答案：2或4或
解析：在正方形中，，P为边的中点，
∴，．
①如图1，当时，
，
∴，
∴；
②如图2，当时, ，
∴；
③如图3，当时，
设，则，，
∴，解得，
综上所述，的长为2或4或
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）解方程：．
答案：（1）；（2），
解析：（1）解：原式
．
（2）解：
移项，得，
两边开平方，得，
∴，
∴，．
14. 如图，反比例函数在第一象限的图象过矩形 的、两个顶点．轴，已知点的坐标为，求点的坐标．
答案：
解析：解：反比例函数在第一象限的图象过矩形 的、两个顶点，轴，点的坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
代入，得出点的纵坐标为，点的横坐标为，
，，
．
15. 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持德智体美劳五育并举，贯彻新发展理念，构建学生健康发展新格局，教育部对中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五项管理作出规定．为明确自己的达标情况，李明就五项管理内容制作了如图所示的正五边形图案，把正五边形图案平均分成5份，分别标注作业A、睡眠B、手机C、读物D、体质E，然后结合自己的实际情况，将已达标的项目涂黑，剩余未达标的项目将按照规定进行改善（假设五项达标是随机的）．
（1）若李明已达标一项，涂黑该正五边形中的一份，则涂黑部分标注作业A的概率为______．
（2）若李明已达标两项，求涂黑的两部分恰好标注睡眠B和体质E的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
∵一共有5种等可能的情况，其中涂黑部分标注作业A的情况有1种，
∴涂黑部分标注作业A的概率为．
故答案为：；
小问2解析：
根据题意画树状图如下：
∴共有20种等可能的情况，其中涂黑的两部分恰好标注睡眠B和体质E的情况有2种，
∴涂黑的两部分恰好标注睡眠B和体质E的概率是．
16. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，M为抛物线与y轴的交点，直线l为抛物线的对称轴，请画出点M关于直线l的对称点．
（2）如图2，四边形为平行四边形，请画出抛物线的对称轴．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1解析：
如图1，点即为所求．
小问2解析：
如图2，直线l即为所求．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光，木杆两端的坐标分别为，，求木杆在x轴上的投影的长．
答案：
解析：解：过点P作轴，垂足为M，交于点N，
∵点，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故木杆在x轴上的投影长为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
（2）若点，也在该二次函数的图象上，求m，n的值．
答案：（1）表达式为，x的取值范围是
（2）
小问1解析：
将，，分别代入得
，解得，
∴二次函数的表达式为，
二次函数对称轴为直线，
∵，
∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围是；
小问2解析：
将，分别代入得
，解得．
19. 钢琴音色优美，刚柔并济，在人疲倦时听一些抒情的曲子能缓解疲劳、在人心情郁闷时听一些欢快的曲子可以调节自己的情绪，陶冶情操，修身养性．图1标识了某品牌三角钢琴的部分产品数据，图2为该钢琴正面简化示意图，已知钢琴大盖板闭合时与重合．此时大盖板为打开状态．支撑杆的长度为，支撑杆与水平方向的夹角，大盖板的长度为，钢琴的高度为．（参考数据：，，，）
（1）求的度数．
（2）求此时大盖板上点D的高度（即点D到水平面的距离）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：如图2，过C点作于G，
∵，支撑杆的长度为，
∴，，
∵钢琴大盖板闭合时与重合，大盖板的长度为，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
小问2解析：
如图，过D点作于M，
∴，
∵钢琴的高度为，，
∴此时大盖板上点D的高度为．
20. 如图，在一张矩形纸片中，cm，E，F分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为，若的延长线恰好经过点D．
（1）求的度数．
（2）设与交于点M，求的值．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
∵点E，F分别是和的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
小问2解析：
在中，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
在中，
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______．
（2）求W与x之间的函数关系式
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案：（1）
（2）
（3）当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元
小问1解析：
解：价格每提高1元，平均每天少销售2盒，
∴价格提高元，每天少销售盒，
∴，
故答案为：．
小问2解析：
解：∵，
故W与x之间的函数关系式为．
小问3解析：
∵，
∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大，
∴当时，，
∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元．
22. 思考研究
“如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程：
先证，得到，再由，得到．
（1）请根据小贤的分析过程证明．
解决问题
（2）求的度数．
拓展延伸
（3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
答案：（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
小问1解析：
证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴
∴．
∵，
∴．
小问2解析：
由（1）知，．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
小问3解析：
．
理由：∵四边形是菱形，，
∴，，，．
∵，∴，
∴，，∴．
∵，∴，，
∴．∵，∴，
∴为等边三角形，∴，∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 已知抛物线．
（1）当时，
①抛物线的顶点坐标为______；
②抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______；
③抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______；
（2）无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点的左侧）的长度始终不变，求的值和线段的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，．是否存在实数使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1） （2） （3）
小问1解析：
解：①当时，，
∴抛物线的顶点坐标为；
②∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
③∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：①；②；③．
小问2解析：
解：将变形得，，
∴抛物线总经过定点，
与轴交于点，
∴抛物线始终经过定点，，
∴直线与抛物线C1相交所得的线段AB的长度不变，且长度为：
，
即当时，线段AB的长恒为4．
小问3解析：
解：存在实数使得以点、、、为顶点的四边形为正方形，理由如下：
∵抛物线：的顶点坐标为，
由（2）可知，，点、均在直线上，根据翻折的性质可知、两点关于对称，即、在的两侧，故要使、、、四点构成的四边形为正方形，需满足，即点G到直线的距离为2，
∴，
∴，
解得：或．