陕西省西安市铁一中学2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份陕西省西安市铁一中学2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A. 3B. 5C. D.
3. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 随的增大而增大B. 图像分别在一、三象限
C. 图像经过点D. 图像关于原点中心对称
5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的半径，弦，是优弧上一点，如果，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，两点均在函数的图像上，且，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 如果，那么______．
10. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有______个红球．
11. 符合黄金分割比例图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______．
12. 如图，的半径是2，则这个圆的内接正十二边形的面积是______．

13. 如图，点在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，反比例函数的图像分别交边，于点．作轴于点，轴于点．若，为的中点，且阴影部分面积等于，则的值为______．
14. 如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段最小值为______．

三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：
16. 解方程：．
17. 如图，有一张锐角三角形纸片，请用尺规作图法，在该纸片，上作一个菱形，使为菱形的一个内角，点在边上（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，在正方形中，点E、F分别是和上的点，且，，求证：．
19. 某学校开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择，小红和小亮两位学生分别随机选择其中一门课程学习．
（1）小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为______；
（2）请利用列表或画树状图的方法，求两人恰好同时选择（几何画板）的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于y轴对称的；
（2）以原点O为位似中心，请在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点，，坐标．
21. 某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为950棵，求这个百分数．
22. 某数学兴趣小组测量大雁塔的高度，如图，在处用测倾器测得塔顶的仰角为，沿方向前进73米到达处，又测得塔顶的仰角为．已知测倾器的高度，测量点与塔底部在同一条水平线上．求大雁塔的高度（结果精确到，）．
23. 如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足是E，延长交于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
24. 已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值．
25 探究与证明
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
类比迁移
（2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，且，，连接，把三角形沿翻叠，若点A的对应点G恰好落在边上，则的长为______；
拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场，，，广场上要修两条小路、，要求点E、F、G分别在边、、上，且，，，广场上五边形内部将进行绿化，请求出绿化面积．
数学答案
（时间：110分钟 满分：120分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. C
【分析】利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
【详解】解：A、主视图为矩形，故本选项不符合题意；
B、主视图为矩形，故本选项不符合题意；
C、主视图为三角形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形且内部有条虚线，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. C
【分析】本题考查三角函数值求线段长，涉及三角函数定义等知识，根据题意，由三角函数定义得到，代值列式求解即可得到答案，熟记三角函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：在中，已知，，，则，解得，
故选：C．
3. B
【分析】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．根据扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则进行计算即可．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，半径是，
∴．
故选：B．
4. D
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，涉及反比例函数增减性、图像、判断点是否在图像上及对称性等知识，熟记反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数中；
A、在每一个象限内，随的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；
B、图像在二、四象限，选项说法错误，不符合题意；
C、当时，，图像经过点，选项说法错误，不符合题意；
D、反比例函数图像关于原点中心对称，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
5. D
【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可求出，再根据三角形相似的判定定理结合各选项逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
A．由，，则可通过两边对应成比例，且夹角相等两个三角形相似，证明，故该选项不符合题意；
B．由，，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意；
C．由，，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意；
D．由，，可知两边对应成比例，但其夹角不是和，故不能证明，故该选项符合题意．
故选D．
6. A
【分析】本题考查矩形中求线段长，涉及矩形性质、相似的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，根据题意，首先证明，设，则，
利用相似比及勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
，则，设，则，
，
在中，，
，即，解得或（负值舍去），
，
故选：A．
7. B
【分析】本题考查圆中求角度，涉及垂径定理、圆周角定理等知识，首先根据垂径定理得到，进而得到，最后由圆周角定理即可得到答案，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解： 是的半径，弦，
由垂径定理可知，，
，
由圆周角定理可得，
故选：B．
8. A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及利用二次函数图像上点到对称轴距离比较函数值大小，现有抛物线性质得到抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，进而比较出，两点到对称轴距离，即可得到答案，熟练掌握利用点到对称轴距离比较函数值大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：函数中，，抛物线开口向上，对称轴为，
抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，
，两点均在函数的图像上，，
，
，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9.
【分析】本题考查利用比例性质求代数式值，涉及比例性质、分式求值等知识，由条件可设，其中，代入分式化简求值即可得到答案，熟练掌握由比例性质设出值是解决问题的关键．
【详解】解： ，
设，其中，
，
故答案为：．
10.
【分析】本题用频率估计概率解题，涉及简单概率公式等知识，由题意得到摸出白球的概率是，设红球有个，利用简单概率公式列方程求解即可得到答案，熟记简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：摸了100次球，发现有30次摸到白球，
摸到白球的概率是，
设红球有个，则，解得，
故答案为：．
11. ##
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长．
【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，，
.
12.
【分析】本题考查圆的内接多边形问题，涉及圆的内接正多边形、特殊角的三角函数值等知识，根据题意，得到，在中解直角三角形得到的高，根据这个圆的内接正十二边形的面积是，利用三角形面积公式求解即可得到答案，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：连接，过作于，如图所示：
图中多边形是圆的内接正十二边形，
，
在中，，则，即，解得，
，则这个圆的内接正十二边形的面积是，
故答案为：．
13.
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，涉及反比例函数图像与性质、求反比例函数图像上点的坐标、矩形面积和解方程等知识，根据题意，设，则，求出，，从而得到，利用阴影部分图形面积列方程求解即可得到答案，熟练掌握反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
设，则，
点的纵坐标是，点的横坐标是，
为的中点，
，
在反比例函数的图像上，
，
，
阴影部分面积等于，
，即，
故答案为：．
14.
【分析】如图，延长到，使得，连接，，，则是的中位线，，证明是等边三角形，可求，则，由翻折的性质可知，，则在以为圆心，8为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，即最小，由勾股定理求，则最小的，最小的，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，，，

∴是的中位线，
∴，
由菱形的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，，
∴在以为圆心，8为半径的圆上运动，
∴当三点共线时，最小，即最小，
由勾股定理得，，
∴最小的，
∴最小的，
故答案为：．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15.
【分析】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂、指数幂、去绝对值及特殊角的三角函数值等知识，根据相关运算法则先求出具体值，再由实数加减运算法则求解即可得到答案，熟练掌握实数相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
16. ，．
【分析】先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，．
17.作图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图，涉及尺规作图作角平分线、尺规作图作中垂线等知识，先作的角平分线，交于，连接，作垂直平分线交于，连接四边形即可得到答案，熟练掌握五类基本尺规作图是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
菱形即为所求．
18.见解析
【分析】利用正方形的性质得到，再证明，则，得到，即可得到结论．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角等知识，证明是解题的关键．
【详解】解；∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19.（1） （2）
【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题、两步概率问题，根据题意，掌握概率问题的解法，熟练掌握列举法求两步概率问题是解决问题的关键．
（1）根据题意，结合一步概率问题的解法，利用简单概率公式求解即可得到答案；
（2）根据题意，结合两步概率问题的解法，列表得到两人恰好同时选择（几何画板）及所有可能结果数，利用简单概率公式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择，
小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，两人恰好同时选择（几何画板）只有1种结果，则（两人恰好同时选择（几何画板））．
20.（1）图见解析 （2）图见解析，
【分析】（1）分别找出、、关于y轴对称的点，顺次连接即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以得到，，的坐标，然后描点连线即可得到．
本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
【小问1详解】
如图，即为所求，
【小问2详解】
如图，即为所求，点，，的坐标分别为．
21.
【分析】设这个百分数为x，根据三年（包括今年）的总栽种量为950棵列方程，解方程即可得到答案，此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这个百分数为x，根据题意可得，
，
解得，（不合题意，舍去），，
答：这个百分数为．
22. 米
【分析】本题考查三角函数测高，涉及解直角三角形、正切函数值、解方程等知识，在直角三角形中，利用正切函数值得到、，得方程求解即可得到答案，熟练掌握三角函数测高的解法是解决问题的关键．
【详解】解：连接并延长，交于，如图所示：
，测量点与塔底部在同一条水平线上，
米，
在中，，，
则，
解得：；
在中，，，则，
解得；
，解得（米），
大雁塔的高度（米）．
23.（1）见解析 （2）
【分析】（1）如图1，连接，则，由切线的性质可知，则，，进而结论得证；
（2）求出，，，证明，得到，即，解得，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，连接，
由（1）可知，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，
∴．
24.（1） （2）
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的面积问题；
（1）根据题意得出，设抛物线解析式为，将点代入，即可求解；
（2）过点作轴交于点，求得直线的解析式为，设，则，表示出，进而根据三角形的面积公式求得，进而根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵，对称轴为．
∴，
设抛物线解析式为，将点代入得，
解得：，
∴抛物线解析式；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作轴交于点，
∵，，
设直线的解析式为，将代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为．
25.（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据，，，证明即可；
（2）如图2，作于，则四边形是矩形，由折叠的性质可知，，，同理（1）可得，，证明，则，设，则，则，整理得，，，计算求解即可；
（3）如图3，延长，上取点、，连接，使，则，，设，则，，证明，则，即，，求，由勾股定理求，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴；
（2）解：∵矩形，
∴，
如图2，作于，则四边形是矩形，
由折叠的性质可知，，，
同理（1）可得，，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，整理得，，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：如图3，延长，在上取点、，连接，使，
∴，，
设，则，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，即，，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴绿化面积为．