吉林省长春市朝阳区2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市朝阳区2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
7．若抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．对于抛物线，y与x的部分对应值如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）
A．开口向下
B．当时，y随x的增大而增大
C．对称轴为直线
D．函数的最小值是
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10．长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为的地图上，量得全线长约为，则轨道交通6号线的实际距离约为 ．
11．函数的图象的顶点坐标为 ．
12．在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为 ．
13．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 ．
14．已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：．
17．二次函数的图象经过和．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将这个二次函数的图象向右平移______个单位后经过坐标原点．
18．2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
(1)小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；
(2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）
19．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米）
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画，使；
(2)在图②中画，使；
(3)在图③中画，使．
21．如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．
(1)建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．
22．【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图1，在中，D、E分别是边的中点．相交于点G．求证：．
证明：连接．
【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】
（1）如图①，若，则_____；
（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交于点M、N．若，，四边形的面积为10，则_____．
23．如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为_____；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值；
(4)当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点P在该抛物线上，横坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当轴时，求m的值；
(3)将该抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．
当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；
当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
参考答案与解析
1．D
解析：解：A、分母中含自变量，不是二次函数，故本选项错误；
B、该函数的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
C、该函数不符合二次函数的定义，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
2．B
解析：解：因为，，，，
所以与是同类二次根式，
故选：B．
3．C
解析：解：点关于轴对称点的坐标为，
故选：C．
4．A
解析：解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：A．
5．C
解析：解：A、与不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D．，符合题意．
故选：C．
6．C
解析：解：在中，，，
∴，
∴(千米)．
故选：C．
7．B
解析：解：∵，
∴对称轴为，且，抛物线开口向上，
∵，，三点到对称轴的距离分别为4，1，3，
∴，
故选：B．
8．C
解析：解：把，，代入，
得：，
解得∶，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
即当时，函数取最小值，
当时，y随x的增大而增大，
故A，B，D错误，C正确，
故选：C．
9．
解析：解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
10．30
解析：解：根据比例尺图上距离：实际距离，得：
轨道交通6号线的实际距离约为：，
．
故答案为：30．
11．
解析：解：∵函数，
∴二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
12．4
解析：解：根据题意，，解得．
故答案为：4．
13．4.5
解析：解：如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴ΔABP∽ΔCDP，
∴AB:BP=CD:PD，
∵AB=1.5米，BP=2米，PD=6米，
∴，
解得：CD=4.5米，
故答案为：4.5．
14．##
解析：解：∵二次函数的图象经过，
∴时，时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向上，且，
∴到对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离，如图，

∴，
解得．
故答案为：．
15．0
解析：解：
．
16．，．
解析：解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
17．(1)
(2)
解析：（1）解：二次函数的图象经过和，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）令，则，
解得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
，
将这个二次函数的图象向右平移个单位后经过坐标原点，
故答案为：．
18．(1)随机
(2)
解析：（1）解：由题意得，小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随机事件．
故答案为：随机．
（2）解：画树状图如下：
由图知，共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有4种，
∴小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为．
19．当时，D到地面的距离2.7米．
解析：解：过点作于点，如图，
，，
．
米，米，
（米．
在中，
，
，
（米．
答：当时，到地面的距离2.7米．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：（1）解：如图1，即为所求．
（2）如图2，即为所求．
（3）如图，即为所求．
21．(1)
(2)球不能射进球门
解析：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为 ，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）当时，
∴球不能射进球门．
22．【结论证明】证明见解析；【结论应用】（1）12；（2）40．
解析：证明：∵D，E分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
结论应用：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
（2）如图②，作交的延长线于点F，交于点K，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：40．
23．(1)5
(2)
(3)t的值为或
(4)
解析：（1）在中，由勾股定理得：，
点为边的中点，
，
故答案为：5；
（2）分两种情况：
①当时，点在线段上运动，；
②当时，点在上运动，；
综上所述，；
（3）点是点关于直线的对称点，
，
点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上，
分两种情况：
①当时，如图1，延长交于点，交于点，
则，
，
，
，
，
即，
解得：，，
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
；
②当时，如图2，设交于点，
则，
点是点关于直线的对称点，
，
在和中，
，
，
，
，
此时，，
综上所述，与的一条直角边平行时的值为或；
（4）当时，如图3，延长交于点，连接交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
点是点关于直线的对称点，
，，
设，则，
以为圆心，长为半径的圆，点为边的中点，
为圆的直径，
，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
，，
，
，
即，
解得：，
此时，，
当为锐角三角形时，的取值范围为．
24．(1)
(2)m的值为
(3)；且
解析：（1）解：抛物线（b为常数）经过点，
，
解得，
该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：轴，
P、Q两点的纵坐标相等，
，
点P在该抛物线上，
，
解得或（此时，P、Q重合，不合题意，舍去），
m的值为；
（3）解：如图，
当时，，解得或，
抛物线，
顶点坐标为，
当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，，
，解得，
m的取值范围为；
如图，
当时，，
点在直线上，
由图象得，当时，图象G与直线有二个公共点，，
当且时，图象G与直线有一个公共点，
当图象G与直线只有一个公共点时，且时，
且，
即m的取值范围为且．
x
…
0
3
4
…
y
…
10
3
…