厦门外国语学校2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份厦门外国语学校2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了可以班接使用2B铅笔作图， 下列说法中，正确的是， 已知函数，等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.全卷三大题，25小题，试卷共7页，另有答题卡.
2.答案必须写在答题卡上，否则不能得分.
3.可以班接使用2B铅笔作图.
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意.）
1. 2023年9月23日晚，钱塘江两岸灯光照耀古今，杭州第19届亚洲运动会开幕式多项环节“刷新”亚运史．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
B、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
C、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
D、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
2. 已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：A
解析：解：的半径为5，点在内，
，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
3. 在下列方程中，有两个互为相反数的根的方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A. ，解得：，只有一个根，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，解得：，故该选项正确，符合题意；
C. ，没有实数根，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，解得：，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，圆上依次有，，，四个点，，交于点，连接，，，则图中一定等于的角是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵，
∴，
故选：D．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定
C. “任意画一个三角形，其内角和”是必然事件
D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为名学生
答案：C
解析：解：．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；
．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意；
．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故选项正确，符合题意；
．从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为，故选项错误，不符合题意；
故选：．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：作轴于M，

∵点B的坐标为
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∴
故选：B．
7. 已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（ ）
A. 点在点的右边B. 点在点的左边
C. 点与点有可能重合D. 点与点的位置关系无法确定
答案：A
解析：解：∵点，点，两点纵坐标相等，
是平行于轴的一条直线上，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，
，
∴点在点的右边，
故选：A．
8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A. 1轮后有人忠了流感B. 2轮后有个人患流感
C 依题意可得方程D. 经过三轮一共会有1000人感染
答案：B
解析：解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
2轮后共有个人患流感，故B错误，符合题意；
依题意，得，即，
故C正确，不符合题意；
解方程，得（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了人．
∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意；
故选：B．
9. 已知函数，（），当时，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：联立，，
解得或1，
∵，故抛物线开口向上，
则时，，
∵时，，
∴，
∴，
故选D．
10. 二次函数(、、是常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，对应的函数值．有以下结论：
①； ②关于x的方程的正实数根在1和之间； ③； ④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是( )
A. ①②B. ②③C. ②④D. ②③④
答案：B
解析：解：∵当和时，，
∴对称轴为直线，
∴，即，
当时，，即
∴，故①错误；
∵当和时，，当时，对应的函数值，
∴抛物线开口向下，根据对称性可得当时，，
又∵过点，
∴关于x的方程的正实数根在1和之间；故②正确；
∵，
∴将与代入解析式得：，
则：，
∵当时，对应的函数值，
∴得：，即：，
解得：
∴，故③正确
④∵函数过点且当时，对应的函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，
∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；
当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，
即当时，满足，
∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，
∴综上当时，.
故④错误.
故选：B.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 将抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．
答案：
解析：解：∵抛物线向下平移个单位，
∴平移后的抛物线解析式为，
故答案为：
12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为___________个．
答案：
解析：解：由图可知，摸到黑球的概率约为，
∴
解得：
故答案为：．
13. 学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将绕某个点顺时针旋转一定度数后得到，A，B，C的对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标是_________，旋转角度是__________°.
答案： ①. ②.
解析：解：∵绕某点旋转后得到，
∴旋转中心为垂直平分线的交点，
连接，
由图可知，垂直平分线为y轴，四边形为正方形，
∴是的垂直平分线，
∴垂直平分线的交点为点D，
∴该旋转中心的坐标是，
∵四边形为正方形，则，即旋转角为
故答案为：，．
14. 已知是方程的一个根，则____________.
答案：
解析：解：依题意，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
15. 在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为____________．
答案：##
解析：如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．
故答案为：
16. 如图，已知矩形，，，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为____________．
答案：
解析：连接，交于点O，连接，，过点作于点，连接，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴线段的最大值为
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：
∴
∴
∴
∴
解得：
小问2解析：
解：
∴
∴或，
解得：
18 先化简，再求值：，其中.
答案：；
解析：解：
；
当时，原式．
19. 2023年第19届亚运会在杭州举办，小蔡作为亚运会的志愿者为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．
（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）概率是___________．
（2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：由题可知，只抽取一盒，从A，B，C，中抽取一次，共有三种情况；
抽到B只有一种情况满足，则恰好抽到B（宸宸）的概率是，
故答案为：．
小问2解析：
画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果有2种，分别是A，C和C，A；
∴小蔡抽到的恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率．
20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．设降价元．
（1）平均每天的销售数量为___________件（用含的式子表示），
（2）该商店每天的销售利润能达到元吗？若能达到，请求出的值：若不能达到，请说明理由．
答案：（1）
（2）能，
小问1解析：
解：件．
故答案为：；
小问2解析：
解：设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵每件盈利不少于元，即，
，
．
答：当每件商品降价元时，即，该商店每天销售利润为元．
21. 如图，以菱形的边为直径作交于点，连接，是上的一点，且，连接．

（1）当，时，求的长．
（2）求证：是的切线．
答案：（1）
（2）见解析
小问1解析：
解：连接，如图所示，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，则，
∴
小问2解析：
证明：连接，如图所示：

∵是直径，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线．
22. 在中，，（），将绕点A逆时针旋转，旋转角为（），记点B，C的对应点分别为D，E.

（1）若和线段如图所示，请在图中作出（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）连接，在旋转的过程中是否存在与的某种特殊的数量关系，使得无论取何值时，都有？若存在，请直接写出此时与的数量关系，并说明理由；若不存在，也请说明理由.
答案：（1）见解析 （2）当时，无论取何值时，都有，理由见解析
小问1解析：
解：如图所示，即为所求；

小问2解析：
解：存在，当时，无论取何值时，都有，

如图所示，当点在上时，
∵旋转，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴是的角平分线，
∴，
则旋转角．
∴当时，无论取何值时，都有．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
答案：任务1：，任务2：
解析：解：任务1：
以D为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
，
点的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
，
．
任务2：
过点E作于点M，
∵，米
∴米
∴米．
由题意可知，当最大时，
点E的纵坐标为．
令，得，
解得，
∵米，
∴米，
∵游船底部在，之间通行，
∴的最大值为（米）．
24. 关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根.
（2）如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”.
①求的度数，
②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
答案：（1）见解析 （2）①；②
小问1解析：
证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”，
且，，
，
，
，
方程必有实数根；
小问2解析：
解：①，理由如下：
作于，延长交于，连接，
，
，
，
，
，
是“勾系方程”，
，
；
，
；
，
，
，
，
．
②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，
∴，
∵，则
∴
故答案为：．
25. 已知抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．

（1）如图1，若，
①则D的坐标为___________；
②当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为___________．
（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为．
①求证：．
②连接、、、，若，，试判断的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．
答案：（1）①；②
（2）①见解析；②的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析．
小问1解析：
解：①当，则抛物线解析式为，
∴，
故答案为：．
②∵抛物线开口向下，对称轴，
当时，，
∴当时，，
解得：或，
∵当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，，
∴，
故答案为：．
小问2解析：
①证明：∵，
∴，
当时，，则；
当时，；
解得：或，
∵，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，代入，
解得：，
∴直线的解析式为
∵点P到x轴的距离为d，，则，
又∵的面积为，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，又Q为射线上一点，
∴；
②如图所示，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
则直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵，直线的解析式为；
∴，
∵，
∴，，，
∴,，
∴是等腰直角三角形，
即 的形状不会随着n的变化而变化．如何设计警戒线之间的宽度
素材1

图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在，之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式．
任务2
设计警戒线之间的宽度
求的最大值．