湖南省娄底市涟源市部分学校2024-2025学年高一上学期选科考试（12月联考）数学试题（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的定义求解即可.
【详解】，故.
故选：D
2. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
3. 若函数，则f(f(10)=
A. lg101B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】因为，所以.
所以,故选B.
【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.
4. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解.
【详解】由题意，，解得，
所以，
故选：D
5. 函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求函数定义域，排除A，再根据函数奇偶性排除B，再通过特殊值排除D得答案.
【详解】函数的定义域为且，排除A项；
∵，∴是奇函数，排除C项；
再取特殊值当时，，排除D项.
故选：B.
【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档题.
6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．
【详解】由已知，，所以，即，∴，
故选：D．
7. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可.
【详解】不等式有解，
，
，
，
当且仅当，等号成立，
，，，
实数的取值范围是．
故选：D．
8. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 小于的角是锐角
B. 与终边相同的角可表达为，
C. 钝角是第二象限角
D. 经过4小时，时针转了
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据任意角与锐角的定义判断即可；对B，根据弧度与角的关系判断即可；对C，根据钝角的定义判断即可；对D，根据4小时时钟的旋转角度占时钟一周角的比例，结合角度的定义判断即可.
【详解】对A，小于的角还包括和负角度的角，故A错误；
对B，，其终边与角相同，又，也为终边与角相同的角，故B正确；
对C，钝角是第二象限角，故C正确；
对D，时钟旋转为顺时针，故经过4小时，时针转了，故D正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 是的必要不充分条件
C. 的单调减区间为
D. 函数且的图象恒过定点.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据命题否定形式可得A正确，再由充分、必要条件定义可得B正确，由幂函数性质可得C错误，根据指数函数图象性质可判断D正确.
【详解】对于A，易知命题“”的否定是“”，故A正确；
对于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，
故是的必要不充分条件，故B正确；
对于C，fx=1x的单调减区间为，不能用并集符号，故C错误；
对于D，由且可令，解得，
又，故函数的图象恒过定点，故D正确.
故选：ABD
11. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断C选项，运用“1”的代换结合基本不等式判断D.
【详解】因为，，
对于A，，当且仅当时取等号，故A选项正确；
对于B，，
故，当且仅当时取等号，故B选项错误；
对于C，∵，∴，∴在R上单调递增，
∵，∴，即，故C选项正确；
对于D，由得，

，
当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.
故答案：
13. 已知函数为，在R上单调递增，则取值范围_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为fx在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
则取值的范围为.
故答案为：.
14. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由的范围求得的范围，用换元法结合二次函数性质求得的最小值即可得的范围．
【详解】时，，设，则，
，
∴时，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）
（2）．
【答案】（1）4 （2）8
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解；
（2）根据对数的运算求解即可.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式
．
16. 已知定义域为的函数满足对任意，都有．
（1）求证：是偶函数；
（2）设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②或或x>1
【解析】
【分析】（1）函数性质先计算，令即可证明；
（2）①设，则,由通过性质可得出即可证明；②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可.
【小问1详解】
取得，即，
取得，即，
取，得，即是偶函数；
【小问2详解】
①设，则，
由时，得，
则，
即在上为减函数，
②由是偶函数且在上是减函数，
则不等式等价为，
即得，
得得，
即或或，
即不等式的解集为或或x>1..
【点睛】关键点点睛：在②中解题关键点利用的单调性解不等式，本题考查了学生的思维能力、运算能力.
17. 已知幂函数在上单调递减.
（1）求的解析式；
（2）若正数满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解；
（2）根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
幂函数在0,+∞上单调递减.
，解得，
.
【小问2详解】
，正数满足，
，
都是正数，
，
当且仅当时，即时取等号，
的最小值为24.
18. “大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
（1）求常数的值；
（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）9.5分钟
【解析】
【分析】（1）代入求解即可；
（2）根据题意列式求解方程即可.
【小问1详解】
茶水温度从开始
当时，，
【小问2详解】
当时，
当时，
刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感
19. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式；
（3）设函数，若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质利用可得，经检验可知符合题意；
（2）根据（1）中解析式判断出函数的单调性，结合奇函数性质解不等式可得结果；
（3）依据题意可得只需满足，结合指数型复合函数单调性求得可得结果.
【小问1详解】
因为定义域是上的奇函数，
所以，即
解得.
经验证时，是奇函数.
【小问2详解】
设，则，
因为在上递增，且在上递减，
所以是上减函数，
又因为在上是奇函数，
则可转化为，
且在是减函数，则，
整理得，解得或，
可得或，
所以不等式的解集为或.
【小问3详解】
由题意可得
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，使成立，只需，
设，则
可知在[1，2]上单调递增，
可知，
即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
【点睛】关键点点睛：本题求解实数的取值范围时关键在于将问题转化为求解的问题，再根据复合函数单调性计算解不等式即可.