3_山东省济南第三中学2023-2024学年高一上期期末检测数学模拟试题（B卷）

这是一份3_山东省济南第三中学2023-2024学年高一上期期末检测数学模拟试题（B卷），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．方程组解的集合是（ ）
A．B．C．D．
2．若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知且，函数在同一坐标系中图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．已知方程有两个不等实根, 则实数的取值范围是
A．B．C．D．
6．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
7．方程的两根为，，且，则
A．B．C．D．或
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比从1000提升到16000，则C大约增加了(附：)（ ）
A．21%B．32%C．43%D．54%
二、多选题
9．已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．若，，则
C．
D．若，，则
10．设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为2
C．的最小值为D．恒成立.
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一条对称轴为直线
C．当时，在区间上单调递增
D．存在实数，使得在区间上恰有2023个零点
12．已知函数，，使方程有4个不同的解：分别记为，其中，则下列说法正确的是（ ）.
A．B．
C．D．的最小值为14
三、填空题
13．计算 .
14．函数过定点 .
15．设函数与的图象的交点为，且，则= .
16．定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于 ．
四、解答题
17．已知关于x的不等式．
(1)当时求此不等式的解集；
(2)求关于x的不等式（其中）的解集．
18．已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)判断函数能否作为公司奖励方案的函数模型，并说明理由；
(2)已知函数能作为公司奖励方案的函数模型，求实数a的取值范围.
20．已知函数f(x)=csx(sinx+csx)－，x∈R
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)设>0，若函数g(x)=f(x+)为奇函数，求的最小值.
21．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
22．已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
(1)求实数m，n的值；
(2)若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】解出方程组的解，解集的元素只有一个点.
【详解】解：由解得
方程组解的集合只有一个元素
所求解的集合为
故选：D
2．C
【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.
【详解】由题意命题“”为真命题，
所以当且仅当，
解得，即m的取值范围是.
故选：C.
3．A
【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断.
【详解】当且时, ,即且时成立.
当时,即解得且,或且
综上可知, “且”是“”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题.
4．B
【详解】分析：对每一个选项逐一判断分析，看三个函数的a的范围是否一致，如果一致的就是正确答案.
详解：在选项B中，先看直线的图像，得，所以过点（1,0）且单调递减.
因为.所以指数函数过点（0,1）且单调递增.故答案为B.
点睛：（1）本题主要考查一次函数、指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)根据多个函数的解析式找图像，一般是逐一研究每一个选项，看相同字母的取值范围是否一致，一致的就是正确答案.
5．D
【详解】试题分析：由下图可得，故选D．

考点：函数与方程．
6．A
【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．B
【解析】利用韦达定理求出与的值，由两角和的正切公式求得，从而可得结果.
【详解】∵方程的两根为，，且，
∴，，再结合，故，，
∴，故．
又，∴，故选B．
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
8．D
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C的比值即可求解.
【详解】解：由题意，所以C大约增加了54%.
故选：D.
9．BCD
【分析】由，根据为上的增函数，所以，再逐项分析判断即可得解.
【详解】因为为上的增函数，所以.
因为函数在上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误；
因为函数在上单调递减，
所以当，，时，，故B正确；
因为在上单调递增，所以当时，，故C正确；
因为函数在上单调递增，
所以当，，时，，故D正确.
故选：BCD.
10．BC
【分析】根据已知等式，应用基本不等式“1”的代换求各选项的最小值，注意等号是否能成立，进而判断各项的正误.
【详解】由得：，
A：，当且仅当时等号成立，错误；
B：，当且仅当时等号成立，正确；
C：，当且仅当时等号成立，正确；
D：，又，则，当且仅当时等号成立，而，显然不能恒成立，错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D.
【详解】对于A，，
故
，即为的一个周期，
说明不是的最小正周期，A错误；
对于B，
，
故图象的一条对称轴为直线，B正确；
对于C，当时，，则，
由于正弦函数在上单调递增，且，
故在上单调递增，且，
此时，
而在上单调递减，则在上单调递增，
故在上单调递增，C正确；
对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为，
故的最小正周期为，
当时，，
当时，，则在上的零点为和，
故当时，恰有个零点，
且第个零点为，
故当时，恰有个零点，
即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.
12．AC
【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可.
【详解】
如图，时，方程存在4个不同根，
当时，，
时，得
即，由正弦函数对称性知，
，
在上单调递增，所以；
，
在上单调递减，所以，无最小值，
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.
13．
【分析】利用对数、指数的运算性质计算即可得解.
【详解】原式.
故答案为：.
14．
【分析】由，令即可得解.
【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点.
故答案为：.
15．1
【详解】试题分析：令，易知函数在R上单调递增，在R上单调递减，所以在R上单调递增.所以在R上单调递增.又函数与的图象的交点为，所以,即为的零点.又，，在R上单调递增，所以，所以.
考点：方程的根与函数的零点、函数的单调性
16．
【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解．
【详解】当时，故，
当时，故…，
可得在区间上，，
所以当时，，作函数的图象，如图所示，
当时，由得，
由图象可知当时，，所以的最小值为．
故答案为：．
17．(1)
(2)①当时，或
②当时，，
③当时，或
【分析】（1）将带入，可得不等式为，因式分解即可求解；
（2）不等式可化为，即；比较根的大小讨论可得解集．
【详解】（1）（1）由；
所以不等式为，
再转化为，
所以原不等式解集为
（2）（2）不等式可化为，
即；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
综上所述，原不等式解集为
①当时，或
②当时，，
③当时，或
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据诱导公式对进行化简即可．
（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解．
【详解】（1）．
（2），
，
∵ 是第二象限角，
∴，
．
【点睛】本题考查利用诱导公式进行化简，涉及利用同角三角函数关系由正弦值求余弦值，属综合基础题.
19．(1)不能，理由见解析
(2)
【分析】（1）由题意验证、是否同时成立即可.
（2）首先由恒成立，转换为最大值，由此可算出的一个范围，进一步在此基础上，由恒成立，通过转换即可得解.
【详解】（1）不能，理由：对于函数模型，
当时，是单调递增函数，则，显然恒成立，
若函数恒成立，则，解得.
不一定成立.
故函数模型不符合要求.
（2）当时，单调递增，
最大值，.
设恒成立，
则恒成立，即.
，当且仅当时取等号，
.
，.
综上，a的取值范围为.
20．(1)最小正周期是，增区间是；
(2)．
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数解析式为f(x)=sin(2x+)，由正弦函数的性质求周期和增区间；
（2）由题意可知g(x)=f(x+)=sin[2x+(2+)].结合奇函数的定义即可求得的最小值.
【详解】（1），
，
由得，
增区间是；
（2）f(x) =sin(2x+)，
g(x)=f(x+)=sin[2(x+)+]=sin[2x+(2+)].
由函数为奇函数，所以，
即，把作为一个整体，由两角和与差的正弦公式展开整理得， 对x∈R都成立，
所以sin(2+)=0，
即且>0，
所以.
21．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据，可得，再由即可求解；
（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，然后根据即可求解.
【详解】（1）因为是R上的奇函数，
所以，即，解得，
从而有，
又由，知，解得，
经检验，当时，，满足题意；
（2）由（1）知，
任取，且，则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为减函数，又因为为上为奇函数，
所以由得，
所以，得恒成立，
所以，
所以，
所以k的取值范围为.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）由，可判断函数在时的单调性，求得最值，由题意列方程即可求得实数m，n的值.
（2）将的解析式代入中求得的解析式，再代入中，令，化为关于的一元二次方程，根据题意即可求得实数a的取值范围.
【详解】（1）由可知，函数关于对称，
又，所以函数在单调递增，
可得，即，
解得，.
（2）易知，
所以即为，
可化为，
令，即；
则关于x的方程有四个不同的实数解等价为于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，，
需满足，解得；
所以实数a的取值范围为.