4_广东省广州市九区联考2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷

这是一份4_广东省广州市九区联考2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．1或0B．0C．1D．1或2
3．方程的根所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数的图象,只要把函数的图象上所有的点（ ）

A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．函数（，，），若，则的值为（ ）
A．4B．4或
C．2或D．2
8．中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
10．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（ ）
A．
B．的最大值为0，最小值为
C．
D．与的图象没有交点
11．已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．不等式的解集是
C．函数，的最小值为
D．若，且，则
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的最小值为0
B．若存在最小值，则的取值范围为
C．若是减函数，则的取值范围为
D．若存在零点，则的取值范围为
三、填空题
13． .
14．已知幂函数的图象过点，则 .
15．已知函数，若，且，则的取值范围是 .
16．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 .
四、解答题
17．若角的终边经过点，且.
(1)求；
(2)求的值.
18．设全集为，集合，
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
19．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
20．已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.
(3)若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和.
21．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求值；
(2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）
22．已知函数图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为，且满足.
(1)求的解析式；
(2)已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值.
放置时间/min
0
1
2
3
4
茶水温度/
90.00
84.00
78.62
73.75
69.39
参考答案：
1．B
【分析】由一元二次不等式的解法及充分必要条件的定义可得结果.
【详解】由解得或，
所以当时一定有成立，反之不一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
2．A
【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求.
【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，
当时，方程可化为，满足题意，
当时，方程只有一个解，则，解得，
所以或.
故选：.
3．C
【分析】先判断出在上单调递增，结合零点存在性定理得到结论.
【详解】由于在上单调递增，
在上单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故方程的根所在的区间是.
故选：C
4．B
【分析】由指数和对数函数的性质可得，，.
【详解】，，，
所以.
故选：.
5．A
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，以及结合函数特殊值的计算，一一判断各选项，即得答案.
【详解】函数的定义域为R，
且，故为奇函数，
则函数图象关于原点对称，则B错误；
又时，，故C错误；
又，
即时，不是单调函数，D错误，
结合函数性质和选项可知，只有A中图象符合题意，
故选：A
6．D
【分析】由函数的图象的最大值求出,由周期求出,由五点作图法求出,从而可得的解析式.再结合函数的图象平移变换规律即可得出结论.
【详解】由函数的部分图像可得
再根据五点法作图可得
故把的图象向右平移个单位长度,可得的图象.
故选：.
7．C
【分析】将，利用换元，化为，分类讨论a的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
则函数，即为，
当时，在上单调递增，由可得：
；
当时，在上单调递减，由可得：
；
故的值为2或，
故选：C
8．B
【分析】根据表中数据确定模型，求得解析式，当，求得即可.
【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢，
所以选①，
则即，
解得，所以，
当时，可得，
即.
故选：.
9．BC
【分析】利用特殊值可判断A；根据幂函数的单调性可判断B；根据不等式的性质可判断C；利用作差法比较大小可判断D.
【详解】对于A，当，，，时，不满足，故A错误；
对于B，在上单调递增，当时，，即，故B正确；
对于C，，，两边同时乘以，得，故C正确；
对于D，，，，
即，故D错误.
故选：BC.
10．AC
【分析】对于A选项，代入计算出；C选项，根据定义得到，C正确；B选项，由C选项得到的周期为1，并得到当时，，当时，，当时，，得到最值；D选项，画出的图象，数形结合得到交点个数.
【详解】对于A，由题意得，故A正确；
对于C，，故C正确；
对于B，由选项C可知，是周期为1的周期函数，
则当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值域为，即的最大值为0，无最小值，故B错误；
对于D，由选项B，可知，且的周期为1，
作出与的图象，
如图所示，由图象可知与的图象有无数个交点，故D错误，

故选：AC．
11．ACD
【分析】利用弦化切可判断A；根据正切函数的图象与性质可判断B；利用换元法转化为二次函数的最小值问题可判断C；根据和得到和，再利用诱导公式可判断D.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，的解集为，故B错误；
对于C，当时，令，，
，当时，，故C正确；
对于D，若，则，
，，
，且，
解得，
.
故选：ACD
12．BCD
【分析】A选项画出草图即可；B选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C选项判断左右两侧函数的增减性即可，D选项分四种情况讨论即可解答.
【详解】对于A选项：
当时，的图像如下：
故此时，.故A选项不对.
对于B选项：
当时，
当时，单减，此时，
当时，单调增，故，
因为；所以；所以；
即；
当时，的最小值为：.
故B选项正确.
对于C选项：
当时，时，单减，
此时的斜率为负，故此当时，单减，
故C选项正确.
对于D选项：此时要对分类讨论；
分类讨论一：当时，一定有零点；
分类讨论二：当时，由A选项可知此时无零点；
分类讨论三：当时，
当时，此时左区段无零点；
当时，函数右区段表达式为，此时直线单减，
故才会有零点；
解不等式.
与取交集有：；
分类讨论四：当时，
由B选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；
因为不在左区段的定义域内，故区段上无零点；
要使存在零点，则零点必在右区段上；
即右区段的最小值必然小于等零，即
即或
上式再与取交集有：
综上所述：若存在零点，则的取值范围为.
故D选项正确.
故选：BCD.
13．9
【分析】根据指数以及对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】
，
故答案为：9
14．/
【分析】根据幂函数的定义分析求解.
【详解】设幂函数，
由题意可得：，解得，
则，所以.
故答案为：
15．
【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解.
【详解】函数，当时，，
当时，，
则在单调递增，在单调递减，
故，，
由，则，
即，所以，
即，则，
所以，
令，则，
则设函数，
任取，不妨设，
因为，
当，所以，，，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递减．
则当时， ，
当时，，
故的取值范围是
故答案为：
16．
【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集.
【详解】不妨设，由得，
即，
故在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，
的定义域为，且，
故为偶函数，在上单调递减，
当时，，
因为，所以，故，
即，解得，
当时，，
因为，所以，故，解得；
当时，，符合题意；
故不等式的解集为.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义直接求解即可；
（2）利用诱导公式化简，然后求值即可.
【详解】（1）角的终边经过点，
，；
（2）由（1）知角的终边经过点，
， ，
.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）求出集合，，再利用交并补运算求解即可；
（2）讨论和两种情况，再利用交并补运算求解即可.
【详解】（1），
当时，，，
，；
（2），
当时，，即，符合；
当时，或
解得，
综上或.
实数的取值范围为.
19．(1)
(2)函数在内单调递减，证明见解析
【分析】（1）由奇函数的定义，通过变形即可求解；
（2）任取，可证，从而得出结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
由得，整理可得；
（2）函数在内单调递减；证明如下：
由（1）知，
在上任取，，且，
，
由，得，，，
所以，即，
所以函数在内单调递减.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；
（2）由题可知在区间内有两个相异的实根，即图像与的图像有两个不同的交点结合图像可得结果.
（3）关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，即可得出答案.
【详解】（1）由，得.
故函数的单调递增区间为：
（2）若函数在区间上有两个零点，
令，即与在区间上有两个交点，
令，由，则，
即与在区间上有两个交点，
画出与在区间上的图象，如下：

由图可知：.
（3）函数有且仅有3个零点，
因为关于成中心对称，
而关于成中心对称，
设三个零点为，则，
所以所有零点之和.
21．(1)
(2)
(3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.
【分析】（1）依题意当时，代入计算可得；
（2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；
（3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得；
（2）由于，故，
由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：，
当销售吨时，年销售收入为：，
由题意，，
即.
（3）由（2）知：，
即
，
当且仅当，又，即时，等号成立.
此时，.
该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.
22．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图求出即可.
（2）求出函数在上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解.
【详解】（1）依题意，函数的周期，则，
由，得函数图象的一个对称中心为，
即有，而，则，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，，当时，，
因此在上单调递增，函数值集合为，值域为，
由有且只有一个实数，对于，，使得，
得函数在上的值域包含，并且实数唯一，
当时，函数在上单调递增，的值域为，
由，得，解得，显然符合条件的实数不唯一；
当时，函数的图象对称轴为，
当，即时，在上单调递增，的值域为，
于是，解得，显然，当且仅当时，且唯一，因此；
当，即时，，，，
当是最小值时，而，不满足函数在上的值域包含，则不是最小值，
必有，得，于是，解得，
当时，且，此时且唯一，
并且当时，，，实数不唯一，因此，
所以实数的值是或.
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有，则的值域是值域的子集．