14_四川省成都市2023-2024学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（解析版）

这是一份14_四川省成都市2023-2024学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回， 已知定义在上的函数满足， 已知，则， 函数的零点个数是， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷（选择题，共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集以及并集运算，可判断A，C；根据集合的元素可判断A，B之间的关系，判断B；求得，确定集合的元素，可判断D.
【详解】因为集合，
故，A错误；
由于，但，故A不是B的子集，B错误，
，C错误；
，D正确，
故选：D
2. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由全称量词命题否定是存在量词命题即可得出答案.
【详解】命题“”的否定是：.
故答案为：C.
3. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案.
【详解】，
故选：B
4. “两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】判断“两个三角形全等”和“两个三角形的周长相等”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】当两个三角形全等时，它们的周长一定相等，
当两个三角形的周长相等时，它们不一定全等，
比如边长为3，4，5的直角三角形和边长为4的正三角形，
故“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件，
故选：A
5. 函数图象的对称中心是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的平移规律，结合的图象性质，即可得答案.
【详解】函数，
其图象可由的图象向上平移1个单位得到，而的图象对称中心为，
故图象的对称中心是，
故选：B
6. 已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数单调性的定义求解即可.
【详解】由题意可得上单调递减，
若可得.
故选：D.
7. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断与的大小关系可得结果.
【详解】，
，
，且，
则.
故选：A.
8. 函数的零点个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】函数的零点个数转化为根的个数即与交点个数，画出图象得出答案.
【详解】函数的零点个数转化为与交点个数，
画出图象如图，由图象可得与只有一个交点，
所以函数只有一个零点.
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特值法判断AC；由不等式的性质判断BD.
【详解】若，取，则，故A错误；
若，则，则，故B正确；
若，取，则，故C错误；
若，由不等式的性质得，故D正确.
故选：BD.
10. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由最小正周期公式和三角函数的奇偶性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，的最小正周期为，且为奇函数，故A正确；
对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，最小正周期为，为偶函数，故C错误；
对于D，最小正周期为，为奇函数，故D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，则（）
A. 的定义域为B. 为偶函数
C. 在上单调递增D. 最大值是0
【答案】ABD
【解析】
【分析】列不等式求出定义域可判断A；利用偶函数的定义可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；利用二次函数和对数函数的性质求出最大值可判断D.
【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确；
∵，则为偶函数，故B正确；
∵，，
令，当时，单调递减，
而在上单调递增，则在上单调递减，故C错误；
∵，，令，
当时，，则的最大值是，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例判断A；结合的含义以及利用数形结合，可判断B；讨论x是否为整数，分类说明，判断C；利用作差法，结合的基本性质，可判断D.
【详解】对于A，不妨取，则，
则此时，A错误；
对于B，由定义表示不超过的最大整数，可知成立，
如图，作出的图象，可知成立，
故，B正确；
对于C，若x为整数，则，成立；
若x为有小数部分的数，不妨设，
由于，
故成立等价于成立，
等价于成立，
当时，上式左边=0，右边=0，成立，
当，上式左边=1，右边=1，成立，故成立，C正确；
对于D，，当时等号成立，
故，而后面等号在x为整数时取到，故等号不同时成立，则，D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查取整函数的知识点，解答的关键是要理解取整函数的含义，明确其基本的性质，由此结合各选项，即可判断答案.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上，
13. 的值是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则以及对数恒等式，即可求得答案.
【详解】，
故答案为：6
14. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】分式上下同除以，化弦为切，代入求值即可.
【详解】，
.
故答案为：.
15. 已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得的值，结合已知求出；由是偶函数推出，利用赋值法求出，即可得答案.
【详解】由题意知是定义域为的奇函数，，
故，则，
由是偶函数，得，
令，则，即；
令，则，即，
故，
故答案为：.
16. 若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，即令，将化为，结合题意判断该方程解的情况，然后参变分离，结合对勾函数图象，数形结合，求解答案.
【详解】由题意可知时，，即不是该方程的解，
故令，则即为，
作出函数的图象如图示：
结合图象可知，若只有一个解，
则最多有2个解，不合题意；
故要使得恰好有四个不同的实数根，
需有2个不等正数根，且两根分别处于内，
由可得，
设，作出其图象：
当时，，
故，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查根据方程解的个数求解参数范围，综合性较强，解答本题的关键在于利用换元法，即令，将化为，即将原方程四个解转化为一元二次方程的解的问题；解答时要结合题意判断方程解的情况，然后参变分离，结合对勾函数图象，数形结合，求解答案.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求得，然后利用集合的运算求解；
（2）由列出不等式可得解.
【小问1详解】
当时，则，又易得.
所以.
又，于是，
所以.
【小问2详解】
因为,,
又因为，所以.
所以实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得答案；
（2）根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
【小问1详解】
令，则的单调递增区间为，
故，解得，
故函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
因为，故，
则，故，
即的值域为.
19. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程总造价为亿元.
（1）求实数的取值范围；
（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.
【答案】（1）
（2）当点满足时，最小，最小值为亿元.
【解析】
【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
（2）由题意可得，由基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，
所以，解得：
直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，
所以，解得：,
故实数的取值范围为.
【小问2详解】
依题意可得：
，
当且仅当，即时取等.
所以当点满足时，最小，最小值为亿元.
20. 已知定义在上的函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义给出证明；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由单调性的定义判断并证明即可；
（2）由（1）知在上单调递增，同理可证在上单调递减. 令，注意到，所以，即，即可求解.
【小问1详解】
函数在上单调递增.
证明：任取，且，
，
因为，且，
所以，
从而，即，
所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递增，同理可证在上单调递减.
令，则，且，
注意到，
所以，即，
因为在上单调递增，所以，
所以不等式的解集是.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】（1）利于换元法，把函数转化为二次函数，配方后，可直接求得最小值；
（2）令，转化为方程存在大于零的解，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，设，
则，
所以当，即时，
，
即函数在区间上的最小值为1.
【小问2详解】
若时，，
则，可化为，
即方程存在大于零的解，
则或，
解得或，
故的取值范围.为.
22. 已知函数，其中.
（1）当时，若，求的值；
（2）证明：；
（3）若函数的最大值为，求的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）或
【解析】
【分析】（1）化简函数解析式，分类讨论去掉绝对值符号，解方程，可得答案；
（2）利用分析法，要证明，只需证，一步步逆推，直到找到不等式成立的条件，即可证明原不等式成立；
（3）令，确定a的范围，从而，结合的取值范围，可得的范围，结合函数最值分类讨论求解，即可得答案.
【小问1详解】
当时，，
当时，，不合题意；
当时，，
由得，，符合题意，
故；
【小问2详解】
的定义域为，
要证明，只需证，
只需证：，
只需证：，
只需证：，该式显然成立，
当且仅当时等号成立，
故；
【小问3详解】
，
令，
由题意可知的最大值为，
则，
而，故，即，
从而，，
因，当且仅当时等号成立，
由（2）知，当且仅当时等号成立，
故的值域为，故的值域为,
令，则，
令，则，
当时，的值域为，
此时的最大值为，符合题意；
当时，的值域为，
此时的最大值为，符合题意；
故a的值为或.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问，根据函数的最大值求解参数，解答时要结合绝对值性质化简函数解析式，构造函数，确定其值域，结合最值，分类求解，即可求得答案.