内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（含详细解析）

这是一份内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（含详细解析），共45页。
2．（5分）设正项等比数列{an}的公比为q，若a2，3a1，a3成等差数列，则q＝（ ）
A．B．2C．D．3
3．（5分）已知圆和圆，则圆C1和圆C2的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）已知平面为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的一个法向量的是（ ）
A．（1，﹣2，3）B．（3，﹣1，2）
C．（1，2，﹣3）D．
5．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，则异面直线AC与DB1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线x﹣y＝0与E交于M，N两点，若四边形MF1NF2的面积等于ab，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝2，PA＝3，则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知直线l1：x﹣my＝0与l2：mx+y﹣2m+4＝0交于点P（x0，y0），则x0+y0的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（ ）
A．当l与圆O相切于点E时，
B．点P到圆O上点的距离的最大值为5
C．点P到圆O上点的距离的最小值为2
D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则
（多选）10．（5分）已知数列{an}满足，则（ ）
A．是等比数列
B．{an}是单调递减数列
C．
D．数列的前n项和
（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，E分别为棱AD，DD1的中点，G为线段B1C上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥D﹣EFG的体积为定值
B．存在点G，使得平面EFG∥平面AB1D1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．当G为B1C的中点时，三棱锥A1﹣EFG的外接球的表面积为
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px，点P（1，﹣2）在C上，过点Q（0，1）的直线l与C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．k1+k2＝﹣2
B．k1+k2＝﹣4
C．k1k2的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，4）
D．k1k2的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线和l2：x+（t﹣1）y+2＝0，若l1⊥l2，则实数t＝ ．
14．（5分）已知抛物线y2＝8x上一点M（x0，2），则点M到该抛物线的焦点F的距离为 ．
15．（5分）已知双曲线，直线l：y＝x+m被C所截得的弦长为，则m＝ ．
16．（5分）在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an+1+bn+1＝2（an+bn），an+1bn+1＝2anbn，则＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+2a2＝20，S3＝24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若，求正整数m的最大值．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且C的离心率为2，焦距为4．
（1）求C的方程；
（2）直线l过点F2且与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求l的方程．
19．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点．
（1）证明：四边形EBFD1为菱形．
（2）求点C到平面BDF的距离．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）证明{an﹣2n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PO⊥平面ABCD，垂足为O，E为PC的中点，OE∥平面PAD．
（1）证明：PC＝PD．
（2）若AD＝2AB＝4，OC⊥OD，PC与平面ABCD所成的角为60°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点和A（﹣2，0）．
（1）求E的方程；
（2）若点M，N（异于点A）是E上不同的两点，且•＝0，证明直线MN过定点，并求该定点的坐标．
2023-2024学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．（5分）设数列{an}的前n项和，则a1＝（ ）
A．4B．5C．8D．10
【考点】数列递推式．
【答案】B
【分析】通过赋值即可求解．
【解答】解：由数列{an}的前n项和，
令n＝1，可得：a1＝S1＝1+3+1＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
2．（5分）设正项等比数列{an}的公比为q，若a2，3a1，a3成等差数列，则q＝（ ）
A．B．2C．D．3
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式．
【答案】B
【分析】由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比．
【解答】解：由题意可得q＞0，
又a2，3a1，a3成等差数列，
由等差数列的中项性质可得6a1＝a2+a3，
所以，
则q2+q﹣6＝0，
解得q＝2或q＝﹣3（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3．（5分）已知圆和圆，则圆C1和圆C2的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定．
【答案】C
【分析】根据题意，分析两个圆的位置关系，结合圆的位置关系与公切线数目的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆和圆，
则圆C1的半径r1＝2，圆心C1的坐标为（﹣1，0），圆C2的半径r2＝3，圆心C2的坐标为（3，3），
则圆心距，所以圆C1和圆C2外切，
故这两圆共有3条公切线．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
4．（5分）已知平面为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的一个法向量的是（ ）
A．（1，﹣2，3）B．（3，﹣1，2）
C．（1，2，﹣3）D．
【考点】平面的法向量．
【答案】D
【分析】平面β的法向量＝k，k≠0，由此能求出结果．
【解答】解：∵平面为平面α的一个法向量，
∴平面β的法向量＝k，k≠0，
记，
∵，∴，
∴是平面β的一个法向量，故D正确；
由题意知A，B，C中的向量均不与向量平行，
∴A，B，C中的向量均不能作为平面β的一个法向量，故A，B，C均错误．
故选：D．
【点评】本题考查平面的法向量、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，则异面直线AC与DB1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【答案】C
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法可解．
【解答】解：根据题意，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，
则以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），．
设异面直线DB1与AC所成的角为θ，
则．
故选：C．
【点评】本题考查利用空间向量法解决异面直线夹角问题，属于中档题．
6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线x﹣y＝0与E交于M，N两点，若四边形MF1NF2的面积等于ab，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】D
【分析】联立方程解得M，N的纵坐标，进而可得，计算可求E的离心率．
【解答】解：由解得x＝y＝±，
所以M（，），N（﹣，﹣），
所以四边形MF1NF2的面积S＝2c×＝ab，即，
所以4c2＝a2+b2，可得5c2＝2a2，则．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，属基础题．
7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝2，PA＝3，则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．
【答案】B
【分析】据题意建立空间直角坐标系，求得直线CP的方向向量与平面DEF的法向量，由向量夹角公式求得线面角的正弦值．
【解答】解：易知AB，AC，AP两两垂直，以A为坐标原点，
的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，2，0），P（0，0，3），D（1，0，0），E（1，1，0），，
，
设平面DEF的法向量为，则，，
则有，即，取z＝2，得，
设直线CP与平面DEF所成的角为θ，
则有．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面所成角的求法，属中档题．
8．（5分）已知直线l1：x﹣my＝0与l2：mx+y﹣2m+4＝0交于点P（x0，y0），则x0+y0的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【考点】三角函数的最值．
【答案】D
【分析】直接利用恒过定点的直线间的位置关系以及利用换元法和三角函数关系式的变换求出结果．
【解答】解：由题意可得直线l1过坐标原点O（0，0），直线l2过定点A（2，﹣4），且l1⊥l2，
所以l1与l2的交点P在以OA为直径的圆上，
则点P的坐标（x0，y0）满足（x﹣1）2+（y+2）2＝5（不含点（2，0））．
可设，；
则，
所以x0+y0的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线间的位置关系，换元法，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（ ）
A．当l与圆O相切于点E时，
B．点P到圆O上点的距离的最大值为5
C．点P到圆O上点的距离的最小值为2
D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】AB
【分析】由勾股定理求出|PE|，即可判断A；求出点P到圆上的点的距离的最大值和最小值，可判断B，C；求出直线l的方程，利用垂径定理求出|MN|，判断D．
【解答】解：对于A，，A正确．
易知点P到圆O上点的距离的最大值为3+2＝5，B正确；
点P到圆O上点的距离的最小值为3﹣2＝1，C错误．
对于D，动直线l过点P（3，0），点Q（0，1）在l上，
所以直线l的方程为x+3y﹣3＝0，点O到直线l的距离，
所以，D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查点与圆，直线与圆的位置关系，属中档题．
（多选）10．（5分）已知数列{an}满足，则（ ）
A．是等比数列
B．{an}是单调递减数列
C．
D．数列的前n项和
【考点】数列的求和；数列递推式；等比数列的性质．
【答案】ABD
【分析】由已知数列的递推式和等比数列的定义、通项公式与求和公式，对选项一一判断可得正确结论．
【解答】解：由2an+1﹣anan+1﹣an＝0，得，
所以，
即有{﹣1}是首项为2﹣1＝1，公比为2的等比数列，
所以，所以，可知A，B正确；
，C错误；
令，则，所以，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，E分别为棱AD，DD1的中点，G为线段B1C上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥D﹣EFG的体积为定值
B．存在点G，使得平面EFG∥平面AB1D1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．当G为B1C的中点时，三棱锥A1﹣EFG的外接球的表面积为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；平面与平面平行．
【答案】ABD
【分析】由棱锥的体积公式，结合面面平行的判定定理及空间几何体的外接球问题逐一判断即可．
【解答】解：对于A选项，∵△DEF的面积为定值，
又B1C∥平面DEF，∴点G到平面DEF的距离为定值，
∴三棱锥D﹣EFG的体积为定值，∴A选项正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意可得A1（2，0，2），C（0，2，0），E（1，0，0），
F（0，0，1），B1（2，2，2），B（2，2，0），C1（0，2，2）．
对于B选项，易知是平面AB1D1的一个法向量．
设平面EFG的法向量为，
又，
设，
∴．
又，取，
若平面EFG∥平面AB1D1，则，解得，∴B选项正确；
对于C选项，当时，
又．
∴EG与BC1所成角的余弦值为：
|cs＜，＞|＝＝＝，∴C选项错误；
对于D选项，当G为B1C的中点时，
可知A1（2，0，2），E（1，0，0），F（0，0，1），G（1，2，1）．
设三棱锥A1﹣EFG的外接球的球心为O（x，y，z），半径为r，
则，解得，∴，
∴三棱锥A1﹣EFG的外接球的表面积为，∴D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了面面平行的判定定理及空间几何体的外接球问题，属中档题．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px，点P（1，﹣2）在C上，过点Q（0，1）的直线l与C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．k1+k2＝﹣2
B．k1+k2＝﹣4
C．k1k2的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，4）
D．k1k2的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．
【答案】BC
【分析】根据已知求得p，设直线AB的方程为x＝t（y﹣1），联立方程组求得y1+y2＝4t，y1y2＝4t，表示出斜率即可求解结论．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px，点P（1，﹣2）在C上，
将（1，﹣2）代入y2＝2px，得p＝2．
过点Q（0，1）的直线l与C相交于A，B两点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝t（y﹣1），
联立方程组消去x得y2﹣4ty+4t＝0．由Δ＞0，得t＞1或t＜0，
所以y1+y2＝4t，y1y2＝4t，因为，且t＞1或t＜0，
所以k1k2∈（﹣∞，0）∪（0，4），
．
因为y1+y2＝4t，y1y2＝4t，所以．
故选：BC．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线和l2：x+（t﹣1）y+2＝0，若l1⊥l2，则实数t＝ 1或﹣2 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【答案】1或﹣2．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线和l2：x+（t﹣1）y+2＝0，若l1⊥l2，
则（t2﹣1）×1+1×（t﹣1）＝0，即t2+t﹣2＝0，解得t＝1或t＝﹣2．
故答案为：1或﹣2．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线y2＝8x上一点M（x0，2），则点M到该抛物线的焦点F的距离为 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】．
【分析】根据已知条件，先求出点M的横坐标，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：抛物线y2＝8x上一点M（x0，2），
则4＝8x0，所以，
又焦点F的坐标为（2，0），所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．
15．（5分）已知双曲线，直线l：y＝x+m被C所截得的弦长为，则m＝ ．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】．
【分析】设双曲线与直线交点的坐标，联立直线和双曲线的方程消元得关于x的一元二次方程，由Δ＞0可得m的范围，由根与系数的关系，结合弦长公式可求m的值．
【解答】解：设双曲线C与直线l交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得2x2+6mx+3m2+3＝0，
则Δ＝36m2﹣8（3m2+3）＝12m2﹣24＞0，解得m2＞2，
且，
所以＝4，
解得m2＝18，即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查弦长公式，是中档题．
16．（5分）在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an+1+bn+1＝2（an+bn），an+1bn+1＝2anbn，则＝ 1 ．
【考点】数列递推式．
【答案】1．
【分析】由已知可得，从而求值．
【解答】解：因为，
所以＝＝…＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查递推数列的性质，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+2a2＝20，S3＝24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若，求正整数m的最大值．
【考点】裂项相消法．
【答案】（1）an＝4n；（2）10．
【分析】（1）由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
（2）由等差数列的求和公式、数列的裂项相消求和，可得Tn，再由不等式解法可得所求最大值．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1+2a2＝20，S3＝24，可得3a1+2d＝20，3a1+3d＝24，
解得a1＝d＝4，
所以an＝4n．
（2）由（1）得，
所以，
所以．
令，解得m≤10，
即正整数m的最大值为10．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且C的离心率为2，焦距为4．
（1）求C的方程；
（2）直线l过点F2且与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求l的方程．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【答案】（1）；
（2）x+y﹣2＝0或x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求出a和b的值，进而即可求解；
（2）设出直线l的方程和A，B两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式和三角形面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线C的离心率为2，焦距为4，
所以，
解得a＝1，c＝2，
则b2＝c2﹣a2＝3，
故C的方程为；
（2）由（1）知F2（2，0），
易知直线l的斜率不为0，
不妨设直线l的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
此时3m2﹣1≠0，Δ＝144m2﹣4×9（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0，
由韦达定理得，
所以，
因为△OAB的面积为，
所以，
整理得9m4﹣8m2﹣1＝0，
解得m2＝1，
即m＝±1．
则直线l的方程为x+y﹣2＝0或x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点．
（1）证明：四边形EBFD1为菱形．
（2）求点C到平面BDF的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）取CD的中点G，连接AC，AG．推出AB，AG，AA1两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得证；
（2）求出平面BDF的法向量，利用向量的点到平面距离公式求解即可．
【解答】（1）证明：取CD的中点G，连接AC，AG．因为底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，所以AG⊥AB，
易知AB，AG，AA1两两垂直．
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由AB＝AA1＝2，可得B（2，0，0），，，E（0，0，1），，．
则，，
所以BF∥ED1，BE∥FD1，且，
所以四边形EBFD1为菱形．
（2）解：设平面BDF的法向量为，
因为，，
所以，即，x＝1，得，
又，
所以点C到平面BDF的距离＝．
【点评】本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）证明{an﹣2n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】错位相减法．
【答案】（1）证明见解答，；（2）Tn＝﹣﹣×（﹣1）n+1．
【分析】（1）由数列的通项与前n项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）证明：由，an＝Sn﹣Sn﹣1，即Sn﹣1＝Sn﹣an，
得，
令n＝1，可得a1＝S1＝2a1+1﹣3﹣2，解得a1＝4，
n＝3时，a1+a2+a3＝2a3+9﹣9﹣2，可得a3＝14，
当n≥3时，，
两式相减得an＝2an﹣1﹣2n+4（n≥3），
则an﹣2n＝2[an﹣1﹣2（n﹣1）]（n≥3）．
又a2﹣2×2＝2（a1﹣2×1），a3﹣6＝2（a2﹣4），
所以{an﹣2n}是以a1﹣2＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）知，，
所以．
设，
则，
所以，
即，
由{（﹣1）n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，
可得，
所以．
【点评】本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式和求和公式，数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PO⊥平面ABCD，垂足为O，E为PC的中点，OE∥平面PAD．
（1）证明：PC＝PD．
（2）若AD＝2AB＝4，OC⊥OD，PC与平面ABCD所成的角为60°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【答案】（1）证明见过程；
（2）．
【分析】（1）取CD的中点F，连接EF，PF，OF，然后利用已知条件证明PF是CD的中垂线即可得证；
（2）建系结合已知条件利用向量法即可求解．
【解答】（1）证明：如图，
取CD的中点F，连接EF，PF，OF，因为E为PC的中点，
所以EF∥PD，又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以EF∥平面APD，因为OE∥平面PAD，OE∩EF＝E，
所以平面OEF∥平面PAD，因为平面ABCD∩平面OEF＝OF，平面ABCD∩平面PAD＝AD，
所以OF∥AD，因为AD⊥CD，
所以OF⊥CD，由PO⊥平面ABCD，
可得PO⊥CD，又PO∩OF＝O，
所以CD⊥平面POF，从而PF⊥CD，又CD的中点为F，
所以PF是CD的中垂线，
所以PC＝PD；
（2）解：因为PO⊥平面ABCD，所以PC与平面ABCD所成的角为∠PCO＝60°，
又OC⊥OD，AB＝CD＝2，所以，
作OG⊥BC，垂足为G，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面PBC的法向量为，
则令z1＝1，得，
设平面PCD的法向量为，
则令，得，
设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，
则csθ＝，
即平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间位置关系和空间向量在证明和求值上的综合运用，属于中档题．
22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点和A（﹣2，0）．
（1）求E的方程；
（2）若点M，N（异于点A）是E上不同的两点，且•＝0，证明直线MN过定点，并求该定点的坐标．
【考点】椭圆与平面向量．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析，定点坐标为．
【分析】（1）由题意，将A，P两点的坐标代入椭圆方程中，进而即可求解；
（2）对直线MN是否垂直于x轴进行讨论，当直线MN垂直于x轴时，设出直线MN的方程，结合向量的运算以及点M在椭圆上，列出等式进行求解即可；当直线MN不垂直于x轴时，设出直线MN的方程和M，N两点的坐标，将直线MN的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的运算进行求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆E经过点和A（﹣2，0），
所以，
解得a＝2，b＝1，
则椭圆E的方程为；
（2）证明：当直线MN不垂直于x轴时，
不妨设直线MN的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
此时Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝﹣16（m2﹣1﹣4k2）＞0，
解得m2＜1+4k2，
由韦达定理得，
此时，
因为，
所以（x1+2）（x2+2）+y1y2＝0，
即，
因为，
所以，
即（1+k2）（4m2﹣4）﹣8km（2+km）+（m2+4）（1+4k2）＝0，
整理得5m2﹣16km+12k2＝0，
解得或m＝2k，
当m＝2k时，直线MN的方程为y＝k（x+2），
此时直线MN经过点A（﹣2，0），不符合题意，
所以，
此时直线MN的方程为，
则直线MN过定点；
当直线MN垂直于x轴时，
不妨设直线MN的方程为x＝x1，
因为，
所以，
因为点M在椭圆上，
所以，
解得或x1＝﹣2（舍去），
此时直线MN的方程为，也过点．
综上，直线MN过定点．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
考点卡片
1．三角函数的最值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2•＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案为：+cs（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
2．等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
【解题方法点拨】
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
3．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
4．数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【解题方法点拨】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【命题方向】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
5．错位相减法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：
错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
【解题方法点拨】
﹣错位相减：将数列{an×bn}的项乘以等比数列的公比q，再与数列{an×bn}的项进行相减，得到简化的公式．﹣化简公式：通过错位相减法化简求和公式，特别是等差和等比数列的求和．
【命题方向】
常见题型包括利用错位相减法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n．
解：设Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
∴2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
∴﹣Sn＝21+22+23+…+2n﹣n•2n+1
＝＝2n+1﹣2﹣n•2n+1
＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴．
6．裂项相消法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：
（1）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
【解题方法点拨】
裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．
【命题方向】
常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．
求和：+++…+．
解：因为＝，
所以原式＝．
故答案为：1﹣．
7．数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
8．等差数列与等比数列的综合
【知识点的认识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣ m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
9．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
10．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
11．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
12．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
13．平面的法向量
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
14．空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．
15．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
16．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
17．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
18．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
19．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
20．两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
21．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．椭圆与平面向量
【知识点的认识】
椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程．
【解题方法点拨】
1．使用向量：利用向量表示椭圆的长轴和短轴．
2．计算夹角：利用平面向量计算椭圆的参数和方程．
【命题方向】
﹣利用平面向量求椭圆的标准方程．
﹣分析向量与椭圆的关系．
23．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
24．直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交⇔Δ＞0；
直线与抛物线相切⇔Δ＝0；
直线与抛物线相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．
直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数．
（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
【命题方向】
掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．
25．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
26．直线与双曲线的综合
【知识点的认识】
直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与双曲线相交⇔Δ＞0；
直线与双曲线相切⇔Δ＝0；
直线与双曲线相离⇔Δ＜0；
直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．
【解题方法点拨】
（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：
①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．
（2）弦长的求法
设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝＝（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【命题方向】
双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
D
C
D
B
D
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0