2023-2024学年福建省莆田市城厢区哲理中学七年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年福建省莆田市城厢区哲理中学七年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在0，﹣5，|﹣2|，﹣1.5这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣5C．|﹣2|D．﹣1.5
2．（3分）如果单项式﹣2xa+1y3与x2yb是同类项，那么a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝2，b＝2
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．2a+b＝2abC．a2b﹣ba2＝0D．a+a2＝a3
4．（3分）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）根据等式的性质，由x＝y可得（ ）
A．4x＝y+4B．﹣2x＝﹣2yC．2x﹣8＝2y+8D．
6．（3分）如图，七年级下册数学教材给出了利用直尺和三角板画平行线的方法，能判定画出的直线与已知直线平行的是（ ）
A．∠ABC＝∠A′B′C′B．∠BCA＝∠B′C′A′
C．∠CAB＝∠C′A′B′D．∠CAA′＝∠C′A′A
7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＞0
8．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，射线OD在∠AOB的内部且∠BOD∠COD，若∠BOC＝80°，则∠AOD等于（ ）
A．140°B．150°C．160°D．130°
9．（3分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，若AM∥BC，则∠MAC＝（ ）
A．16°B．60°C．66°D．114°
10．（3分）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（guī）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则立夏的晷长为（ ）尺.
A．1.5B．3C．3.5D．4.5
二.填空题
11．（3分）习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，那么∠2＝ ．
13．（3分）已知是方程x﹣ay＝5的解，则a＝ ．
14．（3分）若一个角的一半比它的补角小30°，则这个角为 ．
15．（3分）对于有理数a，b，我们规定a⊗b＝a×b2+4b，若有理数x满足（x﹣2）⊗3＝3x﹣4，则x的值为 ．
16．（3分）如图，AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③∠3∠4＝120°；④2∠3﹣∠2＝180°．其中正确的结论是 .（填写序号）
三.解答题
17．解方程：1．
18．先化简，再求值：a2+（2a2﹣3b）﹣2（a2﹣2b），其中a＝﹣1，b＝2．
19．解方程组：．
20．如图，O是线段AB的中点，C是线段OB的中点．
（1）若AB＝6，求线段AC的长；
（2）若AC＝a，则AB＝ （用含a的代数式表示）．
21．已知关于x，y的方程组的解也是方程2x+3y＝6的解，求k的值．
22．我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（温馨提示：仔细看图，玻璃桶高65cm，桶内液面原来高度为26cm）
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61厘米，应放入大球、小球各多少个？
23．如图，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，先补全图形，再求∠CDF的度数．
24．如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S1，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为S2．
（1）S1的值能否为103？若能，求a的值；若不能，说明理由；
（2）S1+S2值能否为55，若能，求a，b的值；若不能，说明理由；
（3）若S1﹣S2＝﹣13，求S1+S2的最大值．
25．已知四边形ABCD
（1）如图1：AD∥BC，∠B＝∠D．求证：AB∥CD；
（2）如图2：在（1）的条件下，取BC上一点P作为顶点作直角∠EPF，使直角的两边交AB于E，交CD于F．则∠AEP+∠DFP＝ ．（直接写出角度和）
（3）如图3：在（2）的条件下，CD上存在点N，∠ANP＝96°，连接PN，延长PE交DA延长线于I，若PF、AB恰好平分∠NPC、∠IAN，且∠PFN＝2∠DAN，求∠NPF的大小．
2023-2024学年福建省莆田市城厢区哲理中学七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）在0，﹣5，|﹣2|，﹣1.5这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣5C．|﹣2|D．﹣1.5
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，
∴﹣5＜﹣1.5＜0＜2，
∴﹣5＜﹣1.5＜0＜|﹣2|，
∴最小的数是：﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）如果单项式﹣2xa+1y3与x2yb是同类项，那么a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝2，b＝2
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项的定义可知a+1＝2，b＝3，
解得a＝1，b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．2a+b＝2abC．a2b﹣ba2＝0D．a+a2＝a3
【分析】根据合并同类项法则判断即可．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故本选项计算错误；
B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
C、a2b﹣ba2＝0，故本选项计算正确；
D、a与a2不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了同类项定义和合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故A符合题意；
B、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故B、C 不符合题意；
D、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
5．（3分）根据等式的性质，由x＝y可得（ ）
A．4x＝y+4B．﹣2x＝﹣2yC．2x﹣8＝2y+8D．
【分析】根据等式的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、4x＝y+4，等式左边乘4，右边加4，无法判断等式是否成立，故选项错误；
B、﹣2x＝﹣2y，等式两边同时乘以同一个数，结果相等，故本选项正确；
C、2x﹣8＝2y+8，等式两边不是同时加上或减去同一个数，等式不成立，故本选项错误；
D、，若c＝0，则等式不成立，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查等式的性质：（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；（2）等式两边同时乘以同一个，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立．
6．（3分）如图，七年级下册数学教材给出了利用直尺和三角板画平行线的方法，能判定画出的直线与已知直线平行的是（ ）
A．∠ABC＝∠A′B′C′B．∠BCA＝∠B′C′A′
C．∠CAB＝∠C′A′B′D．∠CAA′＝∠C′A′A
【分析】根据同位角相等，两直线平行求解．
【解答】解：∵∠CAB＝∠C′A′B′
∴a∥b．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是平行线的判定方法的运用．
7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＞0
【分析】直接利用数轴上a，b的位置进行比较得出答案．
【解答】解：如图所示：A、a＜b，故此选项错误；
B、|a|＞|b|，正确；
C、﹣a＞b，故此选项错误；
D、a+b＜0，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确应用数形结合是解题关键．
8．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，射线OD在∠AOB的内部且∠BOD∠COD，若∠BOC＝80°，则∠AOD等于（ ）
A．140°B．150°C．160°D．130°
【分析】先根据OC是∠AOB的角平分线且∠BOC＝80°推出∠AOC的度数，再根据得出∠COD＝3∠BOD，最后计算求解即可．
【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线且∠BOC＝80°，
∴∠BOC＝∠AOC＝80°，
∵，
∴∠COD＝3∠BOD，
∴∠BOC＝4∠BOD＝80°，
∴∠BOD＝20°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝80°+60°＝140°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，根据图象得出角之间的关系是解题的关键．
9．（3分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，若AM∥BC，则∠MAC＝（ ）
A．16°B．60°C．66°D．114°
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝66°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
10．（3分）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（guī）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则立夏的晷长为（ ）尺.
A．1.5B．3C．3.5D．4.5
【分析】根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从冬至到夏至晷长变化次数即可求出相邻两个节气晷长减少或增加的量，从而可得立夏的晷长．
【解答】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从冬至到夏至晷长变化12次，
∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为（13.5﹣1.5）÷12＝1（尺），
立夏的晷长为1.5+3×1＝4.5（尺），
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的量．
二.填空题
11．（3分）习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为 1.17×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：11 700 000＝1.17×107，
故答案为：1.17×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，那么∠2＝ 55° ．
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
13．（3分）已知是方程x﹣ay＝5的解，则a＝ ﹣7 ．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．
【解答】解：把代入方程x﹣ay＝5得：﹣2﹣a＝5，
解得：a＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
14．（3分）若一个角的一半比它的补角小30°，则这个角为 100° ．
【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补，结合已知条件列方程求解．
【解答】解：设这个角是x°，根据题意，
得，
解得：x＝100．
即这个角的度数为100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
15．（3分）对于有理数a，b，我们规定a⊗b＝a×b2+4b，若有理数x满足（x﹣2）⊗3＝3x﹣4，则x的值为 ．
【分析】首先根据题意，可得：（x﹣2）×32+4×3＝3x﹣4；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵a⊗b＝a×b2+4b，且有理数x满足（x﹣2）⊗3＝3x﹣4，
∴（x﹣2）×32+4×3＝3x﹣4，
∴9（x﹣2）+12＝3x﹣4，
去括号，可得：9x﹣18+12＝3x﹣4，
移项，可得：9x﹣3x＝﹣4+18﹣12，
合并同类项，可得：6x＝2，
系数化为1，可得：x．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
16．（3分）如图，AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③∠3∠4＝120°；④2∠3﹣∠2＝180°．其中正确的结论是 ①②④ .（填写序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故④正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°∠4，
∴∠3∠4＝135°，故③错误．
故正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
三.解答题
17．解方程：1．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：8x﹣4＝12﹣3x+6，
移项合并得：11x＝22，
解得：x＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．先化简，再求值：a2+（2a2﹣3b）﹣2（a2﹣2b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，合并同类项进行化简，然后把a＝﹣1，b＝2代入计算即可．
【解答】解：a2+（2a2﹣3b）﹣2（a2﹣2b）
＝a2+2a2﹣3b﹣2a2+4b
＝a2+b，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝（﹣1）2+2＝1+2＝3．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
19．解方程组：．
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：，
①+②×2，得3x+8x＝5+6，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得3+2y＝5，
解得y＝1，
∴原方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．如图，O是线段AB的中点，C是线段OB的中点．
（1）若AB＝6，求线段AC的长；
（2）若AC＝a，则AB＝ a （用含a的代数式表示）．
【分析】（1）根据线段中点的定义得AO＝OBAB，OC＝CBOB，则AC＝AO+OC；
（2）由AC＝AO+OCABOBABABAB，以此即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝6，O是线段AB的中点，
∴AO＝OBAB＝3，
∵C是线段OB的中点，
∴OC＝CBOB＝1.5，
∴AC＝AO+OC＝3+1.5＝4.5；
故答案为：4.5；
（2）∵AC＝AO+OCABOBABABAB，
∴ABACa．
故答案为：a．
【点评】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键．
21．已知关于x，y的方程组的解也是方程2x+3y＝6的解，求k的值．
【分析】把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值．
【解答】解：，
①+②得：x＝7k，
①﹣②得：y＝﹣2k，
将x＝7k，y＝﹣2k代入2x+3y＝6中，得：14k﹣6k＝6，
解得：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
22．我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（温馨提示：仔细看图，玻璃桶高65cm，桶内液面原来高度为26cm）
（1）放入一个小球水面升高 3 cm，放入一个大球水面升高 4 cm；
（2）如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61厘米，应放入大球、小球各多少个？
【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可．
（2）设应放入大球m个，则小球（10﹣m）个，根据题意列一元一次方程求解即可．
【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由题意得3x＝35﹣26，
解得：x＝3．
设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝34﹣26，
解得：y＝4．
所以，放入一个小球水面升高3cm，放入一个大球水面升高4cm；
故答案为：3，4；
（2）设应放入大球m个，则小球（10﹣m）个，由题意得：
4m+3（10﹣m）＝61﹣26，
解得：m＝5．
10﹣m＝10﹣5＝5，
答：应放入大球5个，小球5个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
23．如图，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，先补全图形，再求∠CDF的度数．
【分析】（1）由题意及邻补角的定义得出∠ACE＝∠ADF，即可判定CE∥DF；
（2）由（1）得CM∥DF，根据平行线的性质求出∠DFM＝125°，由垂直的定义求出∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝35°，由角平分线的定义得到∠DFE＝2∠DFG＝70°，最后根据平行线的性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠ACE+∠BDF＝180°，∠ADF+∠BDF＝180°，
∴∠ACE＝∠ADF，
∴CE∥DF；
（2）解：补全图形，如图所示，
∵CE∥DF，即CM∥DF，
∴∠CMF+∠DFM＝180°，
∵∠CMF＝55°，
∴∠DFM＝125°，
∵FM⊥FG，
∴∠GFM＝90°，
∴∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝35°，
∵FG是∠DFE的角平分线，
∴∠DFE＝2∠DFG＝70°，
∵EF∥AB，
∴∠CDF+∠DFE＝180°，
∴∠CDF＝110°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
24．如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S1，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为S2．
（1）S1的值能否为103？若能，求a的值；若不能，说明理由；
（2）S1+S2值能否为55，若能，求a，b的值；若不能，说明理由；
（3）若S1﹣S2＝﹣13，求S1+S2的最大值．
【分析】（1）设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他的数字分别是（a+1）、（a+2）、（a+8），根据S1的值为103列出方程求得a的值，结合a的实际意义进行判断；
（2）根据题意，将其他数字利用a、b表示出来，然后由“S1+S2＝55”列出方程并解方程；
（3）根据“S1﹣S2＝﹣13”得出a＝b﹣2，结合实际意义确定b的最大值，进而求出S1+S2的最大值．
【解答】解：（1）S1的值不能为103，
理由：设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他的数字分别是（a+1）、（a+2）、（a+8），
根据题意，得：a+（a+1）+（a+2）+（a+8）＝103，
解得：a＝23，
∵a+8＝23+8＝31＞30，
∴a＝23不符合题意，
即S1的值不能为103；
（2）设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S1，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为S2，
根据题意，得：a+（a+1）+（a+2）+（a+8）+b+（b+1）+（b+7）+（b+8）＝55，
整理，得：a+b＝7，
∵a、b都是正整数，
由日历表可知：a＝3，b＝4，
即S1+S2值能为55，此时a＝3，b＝4；
（3）设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S1，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为S2，
∴S1＝a+（a+1）+（a+2）+（a+8）＝4a+11，
S2＝b+（b+1）+（b+7）+（b+8）＝4b+16，
根据题意，得：4a+11﹣（4b+16）＝﹣13，
整理，得：a＝b﹣2，
∴S1+S2＝4a+11+4b+16＝4（b﹣2）+4b+27＝8b+19，
∵a、b都是正整数，
由日历表可知：b的最大值为22，此时a＝22﹣2＝20，
此时S1+S2取得最大值，最大值为：8×22+19＝195，
∴S1+S2的最大值为195．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是寻找题目中隐含的规律．
25．已知四边形ABCD
（1）如图1：AD∥BC，∠B＝∠D．求证：AB∥CD；
（2）如图2：在（1）的条件下，取BC上一点P作为顶点作直角∠EPF，使直角的两边交AB于E，交CD于F．则∠AEP+∠DFP＝ 270° ．（直接写出角度和）
（3）如图3：在（2）的条件下，CD上存在点N，∠ANP＝96°，连接PN，延长PE交DA延长线于I，若PF、AB恰好平分∠NPC、∠IAN，且∠PFN＝2∠DAN，求∠NPF的大小．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A+∠B＝180°，根据∠B＝∠D，等量代换可得∠A+∠D＝180°即可得证；
（2）过点P作PQ∥AB，得出∠AEP+∠EPQ＝180°，∠QPF+∠PFD＝180°，即可求解；
（3）过点F，N分别作BC的平行线FS，NT，设∠FPN＝∠FPC＝α，∠NAB＝∠IAB＝β，∠DAN＝θ，根据平行线的性质以及已知条件可得θ+2α＝96°，，联立即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：如图所示，过点P作PQ∥AB，
∴PQ∥CD，∠AEP+∠EPQ＝180°，
∴∠QPF+∠PFD＝180°，
∴∠AEP+∠DFP＝360°﹣∠EPF＝270°，
故答案为：270°．
（3）解：如图所示，
过点F，N分别作BC的平行线FS，NT，
∴∠DAN＝∠ANT，∠TNP＝∠NPC
∵PF、AB恰好平分∠NPC、∠IAN，
∴∠FPN＝∠FPC，∠NAB＝∠IAB，
设∠FPN＝∠FPC＝α，∠NAB＝∠IAB＝β，∠DAN＝θ，
∴∠B＝β＝180°﹣∠BAD＝180°﹣β﹣θ，∠C＝180°﹣β，
∴θ＝180°﹣2β，
∵TN∥AD∥BC，
∴∠TNP＝∠NPC＝2α，∠ANT＝∠DAN＝θ，
∴∠ANP＝∠ANT+∠TNP＝θ+2α＝96°①，
∵∠PFN＝2∠DAN，
∴∠PFN＝2θ，
∴∠PFN＝∠SFP+∠SFN＝∠FPC+∠SFN＝∠FPC+∠C＝α+（180°﹣β）＝2θ②，
∵∠IAB+∠BAN+∠DAN＝180°，即2β+θ＝180°，
∴，
代入②得，③，
由①③可得，α＝13.5°，即∠NPF＝13.5°．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决此题的关键．
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答案
B．
A．
C
A
B
C
B
A
C
D