安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．“”是“”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域是,函数,则函数的定义域是( )
A.B.C.D.
4．函数的最小值为( )
A.2B.5C.6D.7
5．若幂函数的图象经过点,则下列判断正确的是( )
A.在上为增函数B.方程的实根为
C.的值域为D.为偶函数
6．已知定义域为的奇函数,则的值为( )
A.B.0C.1D.无法确定
7．已知函数是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,对于任意实数,当时,记的最大值为.若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各项中,与表示的函数相等的是( )
A.,B.,
C.,D.,
10．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合成“偏食”.对于集合,,若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是( )
A.B.C.0D.1
11．关于x的不等式的解集,下列说法正确的是( )
A.时,解集为B.时,解集为
C.时,解集为D.时,原不等式在时恒成立
12．若a,b均为正数,且,则下列结论正确的是( )
A.的最大值为B.的最小值为9
C.的最小值为D.的最大值为4
三、填空题
13．命题:“,”的否定是________.
14．已知函数是奇函数,当时,,当时,________.
15．若不等式对恒成立,则实数a的取值范围为________.
16．函数,给出下列四个结论：
①的值域是；
②,且,使得；
③任意,且,都有；
④规定,,其中,则．
其中,所有正确结论的序号是______________．
四、解答题
17．计算.
（1）;
（2）.
18．设集合,.
（1）当时,求;
（2）若,求实数m的取值范围.
19．（1）解关于x的不等式.
（2）若对任意的,恒成立,求实数m的取值范围.
20．已知函数（a,b为常数）是定义在上的奇函数,且.
（1）求的解析式;
（2）若存在,使成立,求实数k的取值范围.
21．已知定义域为R,对任意x,都有.当时,,且.
（1）求的值;
（2）判断函数的单调性,并证明;
（3）若对,,都有恒成立,求实数t的取值范围.
22．已知集合A为非空数集,定义:,,
（1）若集合,直接写出集合S,T（无需写计算过程）;
（2）若集合,,且,求证:
（3）若集合,,记为集合A中的元素个数,求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：集合,,
则.故选:C.
2．答案：B
解析：由,得,解得或,
所以时,具有充分性;
而时,或,不具有必要性.故选:B
3．答案：A
解析：函数的定义域是,
由,得,且,
函数的定义域是,故选:A.
4．答案：D
解析：由可得,所以,
当且仅当,即时等号成立,
故选:D
5．答案：D
解析：设,代入点可得,所以,
所以,因为,所以,即函数的定义域为,
对于A:因为,所以在上为减函数,错误;
对于B:令,所以,解得,所以方程的实根为,错误;
对于C:因为,所以,所以,所以的值域为,错误;
对于D:因为的定义域为关于原点对称,且,
所以为偶函数,正确.
故选:D
6．答案：B
解析：因为是奇函数,则,,,,
所以,故,
所以,故选:B.
7．答案：D
解析：二次函数的对称轴为,
因为函数是R上的增函数,
所以有,故选:D
8．答案：A
解析：.
则,
作出函数的图象如图,
,区间长度为2,
若,则对应的区间为,此时,
若,即,则对应的区间为,此时.则的取值范围是.故选:A.
9．答案：BD
解析：对于A,,定义域为R,,定义域为R,
但对应法则与前者不同,故两函数不相等,故A错误;
对于B,由得,故的定义域为,
由得,故的定义域为,
又两者对应法则相同,故两函数相等,故B正确;
对于C,定义域为R,定义域为,故两函数不相等,故C错误;
对于D,,,两函数相等,故D正确.故选:BD.
10．答案：BCD
解析：当时,,
当时,,
对选项A:若,,此时,不满足;
对选项B:若,,此时,满足;
对选项C:若,,此时,满足;
对选项D:若,,此时,满足;
故选:BCD.
11．答案：BD
解析：时,不等式为,即,解得,解集为,故A错误;
不等式可化为,
当时,,不等式的解集为,
当时,,不等式的解集为,
故B正确,C错误;
令,对称轴为,
当时,,
又时,,
所以,即不等式在时恒成立,故D正确.
故选:BD.
12．答案：BC
解析：因为a,b均为正数,且,所以,所以,
当且仅当,即,时,等号成立,所以A错误;
,
当且仅当,即时,等号成立,所以B正确;
,
当且仅当,即,时,等号成立,所以C正确;
,
当且仅当,即,时,等号成立,
而a,b均为正数,故等号不成立,所以D错误.
故选:BC.
13．答案：,
解析：命题:“,”的否定是“,”.
14．答案：
解析：当时,,则,则,
故答案为:.
15．答案：
解析：不等式对恒成立等价于在恒成立,即,
设,,
则,
因为,所以,,
所以在上为递增函数,
当取得最小值,所以.
故答案为:
16．答案：①④
解析：对于①：因为的定义域为R,关于原点对称,
且,可知为奇函数,
当时,,可知函数在内单调递增,
且,可得,则,
结合为奇函数,可知：当时,函数在内单调递增,且,
所以的值域是,故①正确；
对于②：由①可知： 可知函数是R上增函数,
所以对任意,且,均有,故②错误；
对于③：当任意,且时,
令,,,
,显然,
因此不成立,故③不正确；
对于④：当时,,
可得,,
,,
以此类推可得,因此,故④正确；
故答案为：①④.
17．答案：（1）112
（2）2
解析：（1）原式;
（2）
.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）当时,,,则;
（2）若,则,
①时,可得,得,
②时,可得,得,综上,,
故实数m的取值范围为.
19．答案：（1）分类讨论,答案见解析;
（2）.
解析：（1）不等式化为:,
当时,解得;当时,不等式无解;当时,解得,
所以当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
（2）当时,恒成立,则,
当时,不等式,
依题意,,,而x最大值为2,因此,
所以实数m的取值范围是.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由是上的奇函数,则,可得,所以,
又因为,可得,所以,
因为的定义域为,且,可知为奇函数成立,
所以.
（2）任取,,且,
则,
因为,则,,,
可知,即,所以在上是增函数,
可得在上的最小值为,
又因为存在,使成立,
则,即,解得:或,
所以实数k的取值范围是.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析：（1）取,
则,于是,
令,,
则,
又,则;
（2）是R上的单调递减函数.
证明:
任取m,,,
则,
由于当时,,易知,则,
故,
可得是R上的单调递减函数.
（3）不等式可化为,
也即,
令
于是,,都有恒成立,
由于为R上的单减函数,则,,
都有恒成立,
即,成立,即恒成立;
令,它是关于m的一次函数,
故只需,解得.
即,
解得.
22．答案：（1）,
（2）见解析
（3）1349
解析：（1）,,
集合,集合.
（2）,,且,
T中也只包含4个元素,即,
剩下的元素满足,
;
（3）设集合满足题意,其中,
则
,
,
,,
的最小元素为0,最大元素为,,
解得
实际上时满足题意,证明如下:
设,
则,
题意有,即,
m的最小值为675,当时,集合A中元素最多,
即时满足题意
综上,的最大值为1349.