赤峰第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过点，斜率为2的直线方程为( )
A.B.
C.D.
2．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.或
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线C的离心率为( )
A.B.C.4D.2
4．今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？( )
A.甲24000元，乙24000元
B.甲32000元，乙16000元
C.甲40000元，乙8000元
D.甲36000元，乙12000元
5．已知直线，则直线l恒过定点( )
A.B.C.D.
6．已知M为直线上的动点，点P满足，则点P的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
7．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知圆和，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角为
B.经过点，且在x轴，y轴上截距互为相反数的直线方程为
C.两平行直线，之间的距离为
D.已知直线，，则“”的充要条件是“或”
10．点P在圆上，点Q在上，则( )
A.两个圆的公切线有2条
B.两个圆上任意一点关于直线对称点仍在该圆上
C.的取值范围为
D.两个圆的公共弦所在直线的方程为
11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是( )
A.点在曲线C上
B.点在C上，则
C.点Q在椭圆上，若，则
D.过作x轴的垂线交C于A，B两点，则
三、填空题
12．已知椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，则m的值为__________.
13．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________.
14．已知，是椭圆的左､右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，且，则C的离心率为__________.
四、解答题
15．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点E在上
(1)若E为的中点，证明：平面；
(2)若，，三棱锥的体积为，试求的值
16．在平面直角坐标系中，圆C经过和点，且圆心在直线上
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线被圆C截得弦长为，求实数a的值
17．2024年11月13日，赤峰朝聚眼科医院医生和护士来到赤峰四中对全部学生进行视力普查和视力保护宣传为配合此次活动，我校组织学生开展了题为“保护双眼，看清世界”的护眼知识竞赛现抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中a的值若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
(2)用样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数（用分数表示）；
(3)若甲､乙两位同学获得参加第二轮的复赛资格，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率
18．如图所示,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,侧面底面且,E为中点.
(1)求证：;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求点C到平面的距离.
19．已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的方程；
(2)点，过点B做两条直线分别交椭圆于M，N两点，且，，为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值
参考答案
1．答案：A
解析：根据点斜式方程得直线方程为，
化简得.
故选：A.
2．答案：C
解析：根据题意有，
所以.
故选：C.
3．答案：B
解析：双曲线的渐近线方程为，
依题意，，
所以双曲线C的离心率.
故选：B
4．答案：D
解析：乙最终获胜的概率为，
甲最终获胜的概率为，
所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，
所以甲元，
乙元，
故选：D.
5．答案：C
解析：直线，
由，
解得，
所以直线l恒过定点.
故选：C
6．答案：B
解析：设点，由，
得点，又点M在直线l上，
因此，
整理得，
所以点P的轨迹方程为.
故选：B
7．答案：C
解析：记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆，相切时，斜率k最小，
设，则，
解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.
8．答案：D
解析：圆和的圆心、
半径分别为，
由，得点在圆内，设动圆半径为r，
依题意，，，
则，
因此P点的轨迹为以，为焦点的椭圆，
其中，
即，
而圆内切于，切点在P点的轨迹上，
此点可视为极限位置的点，
所以椭圆方程为.
故选：D
9．答案：AC
解析：对于A，直线的斜率，故倾斜角为，故A正确；
对于B，直线经过，
且在x轴和y轴上的截距均为0，互为相反数，
但该直线并不是，故B错误；
对于C，两直线的方程分别是和，
故距离，故C正确；
对于D，当时，“或”成立，
但中x，y的系数均为零，直线不存在，不可能有“”，
所以原条件不可能为充要条件，故D错误
故选：AC.
10．答案：BC
解析：圆的圆心，
半径，圆的圆心，半径，
对于A，由，得圆，外离，这两个圆有4条公切线，A错误；
对于B，直线的方程为上，
因此直线为两圆的公共对称轴，B正确；
对于C，，，
则的取值范围为，C正确；
对于D，由圆，外离，得圆，不存在公共弦，D错误
故选：BC
11．答案：ACD
解析：对于A，，
由定义知，A正确；
对于B，由点在C上，
得，
化简得，解得，
，B错误；
对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与，
则，由，得，
则，，C正确；
对于D，设，则，
而，则，又，
则，化简得，
解得，，
因此1，，D正确
故选：ACD
12．答案：8
解析：由题意知，且，则，
所以，解得.
故答案为：8.
13．答案：
解析：设点关于对称点，
则，
解得，
即，
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：
14．答案：
解析：由，且，
得为等边三角形，
点P在线段的中垂线，即y轴上，
令椭圆半焦距为c，则，而点，
且直线的斜率为，
因此，
所以C的离心率为.
故答案为：
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接交于O，连接，
∵为矩形，
∴O为的中点，
又E为的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
(2)由题设平面，平面，故，
，，
则，，
∴的面积为.
又因为平面，且，
则棱锥的体积为，
因为三棱锥的体积为，
所以棱锥的体积为，
∴E到平面的距离h满足，即.
∵平面，平面，
∴平面平面，
过在平面内作，
垂足为F，则平面，
而平面，于是.
∵，∴，则.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)依题意，线段的中点，
直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，
由，解得，
因此圆C的圆心，半径，
所以圆C的方程为.
(2)由直线被曲线C截得弦长为，
得圆心到直线的距离
因此，
解得，
所以实数a的值为.
17．答案：(1)，2人
(2)
(3)
解析：(1)由，
解得，
成绩不高于50分的人数为：，
在内的人数为，
所以不高于50分的抽取（人）.
(2)由图知，学生成绩在内的频率为0.4，
在内的频率为0.3，
则学生成绩中位数，
因此，解得，
所以中位数为.
(3)记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，
则，
所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
18．答案：(1)证明见解析;
(2);
(3).
解析：(1)取中点O,连接,由,得,
又平面平面,
平面平面,平面,
则平面,过O作,
由,
得,,
而,平面,则,,
以O为原点,直线,,
分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图：
由,,
得,,,,,
中点,
则,,
因此,
即,
所以.
(2)由(1)知,,,,
设平面的法向量,
则,
令,得,
设平面的法向量,
则,
令,得,
设二面角的大小为,
则,
所以二面角的正弦值.
(3)由(1)(2)知,,
平面的法向量,
所以点C到平面的距离.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)根据已知有，故.
将代入方程可知，
故
故，，，
从而的方程是.
(2)
注意到是C的右顶点，而，
故可设，的方程分别是和，其中.
将和联立，
得，
在的情况下，可以得到.
此即，
故，
，
所以.
用替换k，同理可得，
即.
故根据坐标可知M，N关于原点O对称，
故直线经过O，而，
垂足D在直线上，所以.
这表明D在以为直径的圆上，
再设，则Q是的中点，
所以.