鸡西市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份鸡西市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．双曲线的焦点坐标是( )
A.，B.，
C.，D.，
2．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．已知向量，，则等于( )
A.B.C.D.
4．椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，则m的值等于( )
A.3B.5C.8D.5或3
5．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为( )
A.B.
C.D.
6．当点P在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
7．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题结合上述观点，函数的最小值是( )
A.B.4C.D.
8．已知双曲线，，分别为双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点连接交双曲线C左支于点N，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是( )
A.B.2C.D.5
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的是( )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.垂直于y轴的直线倾斜角为0
10．在下列命题中，错误的有( )
A.若，共线，则，所在的直线平行；
B.若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；
C.若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；
D.已知三向量，，不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
11．动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线C，，分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.的内切圆的面积的最大值为
C.M到直线的最小距离为
D.设，则的最小值为
三、填空题
12．已知O为坐标原点，P在椭圆上，则的最大值为_________.
13．已知O为坐标原点，M在双曲线的左支上，F是该双曲线的左焦点.，N为的中点，则_________.
14．已知，，，，若存在满足的点P使为钝角，则t的取值范围是_________.
四、解答题
15．在三角形中，，，
(1)求边的中线所在直线的一般式方程；
(2)求边上的高所在直线的点斜式方程
16．已知双曲线的离心率，实轴长.
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求；
(3)求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程
17．如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点B到平面的距离
18．平面直角坐标系中，点，圆与x轴正半轴交于点Q.
(1)求过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长；
(2)求过点P与圆O相切的直线方程；
(3)过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由
19．在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答
已知椭圆的右焦点为，且___________.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过圆上任意一点G作椭圆C的两条切线m，n.求证：；
(3)设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，，求证：直线l经过定点，并求此定点
参考答案
1．答案：B
解析：由双曲线的方程可知，焦点在y轴，
并且，，
所以，
即双曲线的焦点坐标是，
故选：B
2．答案：C
解析：设倾斜角为，
则，则.
故选：C.
3．答案：D
解析：由，
可得：，
所以.
故选：D
4．答案：B
解析：由题意，椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，
则，，
即，
所以，即.
故选：B.
5．答案：D
解析：设弦端点，，
由A，B在双曲线上，
则，
两式做差可得，
即，
又弦被点平分，
则，
代入上式可得，
则，
即直线方程为，
化简可得，
故选：D.
6．答案：B
解析：如图所示，
设，因为M是线段PQ中点，
所以由中点坐标公式可得，，
所以，
又因为P在圆上，所以，
于是可得M的轨迹方程为：，
故选：B.
7．答案：C
解析：
表示动点到定点和的距离之和，
因为点在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
故，
当且仅当A，P，三点共线时取等，
故的最小值为
故选：C
8．答案：A
解析：由题意得，
设，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故，
由双曲线定义知，，
故，
，
其中，
解得，则，
，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
解得，
故双曲线C的离心率为.
故选：A
9．答案：CD
解析：A选项：当直线垂直于x轴时，斜率不存在，A选项错误；
B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；
当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误；
C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确；
D选项：垂直于y轴的直线与x轴平行，
由倾斜角定义可知该直线倾斜角为0，D选项正确；
故选：CD.
10．答案：ABC
解析：对于A，若，共线，则，有可能在同一条直线上，A错误；
对于B，即使，所在的直线是异面直线，
也可以通过平移的方式使得向量，共面，B错误；
对于C，如图所示，
在四面体P-ABC中，向量，，两两共面，
但三个向量并不共面，C错误；
对于D，由空间向量的基本定理可知D正确；
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由已知，，
化简可得，
即，，，，，
如图所示，
A选项：设，，
则，
，
又，
则，
即，
即，
所以，A选项正确；
B选项：设内切圆半径为r，则，
又，
，
所以，
又，则，
即内切圆半径的最大值为，
所以内切圆面积的最大值为，B选项正确；
C选项：设点，，
则点M到直线的距离，其中，
所以当时，d取最小值为，C选项错误；
D选项：由椭圆定义可知，
又，
所以，
当且仅当点M在延长线时取等号，
即的最小值为，D选项正确；
故选：ABD.
12．答案：2
解析：设点，则有，即.
所以，
当时，取最大值
故答案为：2.
13．答案：5
解析：设是双曲线的右焦点，连接，
又M在双曲线的左支上，
所以，
又，所以，
又N为的中点，O为的中点，
所以.
故答案为：5.
14．答案：
解析：设，因为，，，
所以，
化简得，
配方得，
圆心为，半径为，
以为直径的圆H的方程为，
若存在满足的点P使为钝角，
则圆C与圆H有两个公共点或圆C在圆H内部或圆C在圆H内切，
所以，
又，
所以，解得，
所以t的取值范围是.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，可得其中点坐标为，
此时中线斜率为：，
所以边的中线方程为：，
即；
(2)因为，
由垂直关系可知：边上的高所在直线斜率为，
所以方程为：，
即.
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由已知可得
可得：，，
所以双曲线C的方程为.
(2)双曲线C的右焦点为，
由点斜式得直线l的方程为，
由
消去y得：，
所以，，
所以
(3)设所求双曲线的标准方程为，
将代入可得，
所以该双曲线的标准方程为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)在三棱柱中，平面，
，，，
且，，M为棱的中点，
建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，
，，，
所以，，
则，
所以，
即；
(2)由(1)知：，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
令，得，
则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以；
(3)易知，
所以点B到平面的距离为：.
18．答案：(1)
(2)和
(3)定值，-1
解析：(1)过点P斜率为1的直线方程为，
圆心到该直线的距离为，
所以该直线被圆O截得的弦长为.
(2)圆的圆心为，半径为2，
若过点的直线垂直于x轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意；
若过点的直线不垂直于x轴，设直线的斜率与k，
则直线方程为，
即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为；
综上所述，切线方程为和.
(3)由题意知点，显然直线的斜率存在，
设直线方程为，
联立，
得，
设，
则，
且，
所以
，
所以是定值，定值为-1.
19．答案：(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
解析：(1)选①条件，由椭圆的右焦点为，
可得，因为离心率，
所以，
所以，
所以椭圆C的方程为.
选②条件，由椭圆的右焦点为，
可得，过，
则，∴，
所以椭圆C的方程为.
选③条件，由椭圆的右焦点为，
可得，，
又由，
则，，
所以椭圆C的方程为.
(2)证明：设，若过点G的切线斜率都存在，
设其方程为，
则联立方程组，
得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
整理得，
设椭圆C的两条切线的斜率分别为，，
由韦达定理，，
因为点G在圆D上，所以，即
所以，
所以；
若过点G的切线有一条斜率不存在，不妨设为m，
则该直线的方程为，
则n的方程为，所以，
综上所述，对于任意满足题设的点P，都有.
(3)证明：设，，
由
消去y得：，
由韦达定理得，，
则，
.
由与可得直线的方程为：，
，同理：，
因为，
所以，
即，
整理得，解得，
所以直线l方程为，
所以直线l恒过定点.