上海市徐汇区2025届高三上学期学习能力诊断（一模）数学试卷(含答案)

这是一份上海市徐汇区2025届高三上学期学习能力诊断（一模）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列拋物线中,焦点坐标为的是( )
A.B.C.D.
2．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球,这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.1左右,则据此估计盒子中红球的个数约为( )
A.40个B.45个C.50个D.55个
3．已知函数与它的导函数的定义域均为R.若函数是偶函数且在上是严格增函数,则下列各表中,可能成为取值的是( )
A.
B.
C.
D.
4．已知数列的前n项和为,设（n为正整数）.若存在常数c,使得任意两两不相等的正整数i,j,k,都有,则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是( )
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题
C.①､②都是真命题
D.①､②都是假命题
二、填空题
5．不等式的解集为_________________.
6．已知函数,其中,则_____________.
7．在的二项展开式中,若各项系数和为32,则正整数n的值为____________.
8．已知向量,,若,则实数m的值为______________.
9．设,,若函数是定义在上的奇函数,则______________.
10．已知m,n为空间中两条不同的直线,,为两个不同的平面,若,,则是的_____________条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
11．某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计,得到样本的茎叶图（如图所示）,则该样本的第75百分位数是____________.
12．已知复数和复数满足,（i为虚数单位）,则______________.
13．设,,若函数存在两个不同的极值点,则a的取值范围为_____________.
14．已知椭圆的左､右焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,若此椭圆的离心率为,则的大小为______________.
15．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一,吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器,它可视作两个圆台的组合体,上面圆台的上､下底面直径分别为和,下面圆台的上､下底面直径分别为和,且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为,则该花盆上､下两部分母线长的总和为_________________.
16．已知定义域为的函数的值域也是A,所有这样的函数形成全集B.设非空集合且中的每一个函数都是C中的两个函数（可以相同）的复合函数,则集合C的元素个数的最小值为_______________.
三、解答题
17．已知,若定义在R上的函数的最小正周期为,且对任意的,都有.
(1)求实数a,b的值;
(2)设,,当时,,求的值.
18．如图,在四棱锥中,,,,E为棱的中点,异面直线与所成角的大小为.
(1)求证：平面;
(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
19．某企业招聘员工,指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程,有两种考试方案.
方案一：参加三门课程的考试,至少有两门及格为通过;
方案二：在三门课程中,随机选取两门,并参加这两门课程的考试,两门都及格为通过.
假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是,,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率;
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小,并说明理由.
20．已知过点的双曲线C的渐近线方程为.如图所示,过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A,B两点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知点,求证：;
(3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为,则所对圆心角的大小是否为定值？若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
21．已知定义域为D的函数,其导函数为,若点在导函数图象上,且满足,则称为函数的一个“T类数”,函数的所有“T类数”构成的集合称为“T类集”.
(1)若,分别判断和是否为函数的“T类数”,并说明理由;
(2)设的图象在R上连续不断,集合.记函数的“T类集”为集合S,若,求证：;
(3)已知,若函数的“T类集”为R时的取值构成集合A,求当时的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线的标准方程为：,焦点坐标为,
由题意得,所以,
所以抛物线的标准方程为：.
故选：C.
2．答案：B
解析：设红球个数为a,
由题意可得：,解得：.
故选：B.
3．答案：B
解析：函数是偶函数,则,两边求导得：,
所以可知导函数是奇函数,
由于函数与它的导函数的定义域均为R,
所以,又因为在上是严格增函数,
所以在上是严格增函数,
由于是可导函数,所以它的图象是连续曲线,示意图如下：
则在上恒为正数且递增,
即在上单调递增,且变化率越来越大,
故AC显然错误,而D的变化率越来越小,所以只能选B,
故选：B.
4．答案：A
解析：对于①,设等差数列的公差为d,则,
代入
可得
,即可得到,①正确;
对于②,设等比数列的公比为q,则,
代入,
可得
要使其为常数,化简后会发现很难对于任意的i,j,k都满足为常数（因为公比）,
故不存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列. ②不正确.
故选：A.
5．答案：
解析：不等式化为,解得,
不等式的解集为.
故答案为：.
6．答案：0
解析：由解析式知.
故答案为：0.
7．答案：5
解析：因为,且各项系数和为32,
令,则,解得,
所以正整数n的值为5.
故答案为：5.
8．答案：-2
解析：因为,,
所以,
所以.
故答案为：-2.
9．答案：1
解析：由函数是定义在上的奇函数,可知,
再由,
所以,
故答案为：1.
10．答案：充要
解析：充分性：因为,,,
所以m,n共面,
又因为,为两个不同的平面,,
所以,
所以,故充分性成立;
必要性：因为,,所以,
又因为,所以,故必要性成立,
所以是的充要条件.
故答案为：充要.
11．答案：51
解析：因为,
所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第23个数,即为51.
故答案为：51.
12．答案：
解析：设,,,
则,,
所以,
因为,,
所以,
则.
故答案为：.
13．答案：
解析：易知函数的定义域为,
,
因为函数存在两个不同的极值点,
所以在内有两个不等根,
设,,
则只需,即,
所以,则a的取值范围为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图,设,则,因,故,

由余弦定理,,
即,
将代入,整理得：,
解得,则有,,
由正弦定理：,即,
解得,
因,故.
故答案为：.
15．答案：
解析：设上面圆台的母线长为,上面半径为下半圆半径为高为,
根据圆台的母线长公式,
带入数值计算得到;
设下面圆台的母线长为,上面半径为,下半圆半径为,
由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等,可以得到,带入数值计算得到;
所以该花盆上､下两部分母线长的总和为.
故答案为：.
16．答案：2
解析：因为定义域为的函数的值域也是A,
所以这样的不同的函数有个,所以集合B有6个不同的元素,
又非空集合,且,
又中的每一个函数都是C中的两个函数（可以相同）的复合函数,
若C中只有1个函数,则中有5个函数,
又C中函数与自身的复合函数只能表示一个函数,故不能得到中5个函数,不符合题意,
若C中只有2个函数,则中有4个函数,
若C中2个函数的复合函数有,如果这4个函数是中4个函数时,符合题意,此时只需验证即可.
6个不同函数为,,
,,
,,
若,此时,
,,
,,
所以集合C的元素个数的最小值为2.
故答案为：2.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1),
由的最小正周期为,知,
,
.
(2)由(1)可得：,
,
或,即或,,
又,则不妨令,,故.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为,,E为棱的中点,
所以且,所以四边形是平行四边形.
所以,又平面,不在平面上,
由线面平行的判定定理知,平面.
(2)解法一：因为,即,且异面直线与所成的角为,即,
又,,平面,平面,
又,由三垂线定理可得,
因此是二面角的平面角,,所以,
不妨设,则,
以A为坐标原点,平行于的直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,（其中,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,可得,
令,则,,可得,
设直线与平面所成角为,
则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：过A作,交的延长线于H,连接,
由(1)知：,
因为,所以,
因为,即,
又,,平面,所以平面,
因为平面,所以,
又是在平面上的射影,由三垂线定理知,,
又,所以平面,
再过A作,交于I,
因为平面,平面,所以,
又,所以平面,所以即为直线与平面的所成角,
因为,平面,由三垂线定理,
因此是二面角的平面角,,
设,则,
因为,所以四边形为正方形,
所以,
所以,所以,
所以,
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1);
(2),理由见解析
解析：(1)记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,
则,,.
应聘者选方案一考试通过的概率
应聘者选方案二考试通过的概率
(2)
,
因为,,,所以,即.
故,即选方案一,该应聘者考试通过的概率较大.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)是,定值为
解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为,
所以设双曲线方程为,又双曲线过点,
则,
所以双曲线的方程为,即.
(2)由(1)可知,l的斜率存在且不为0,所以设l的方程为,
联立,消去y得,
设,,由题意得,
所以,且,
所以
,
所以,即得证.
(3)由(2)可知恒成立,,
所以圆心到的距离,
半径,
设所对圆心角为,
则,
因为为劣弧,所以,
所以,所以,即所对圆心角的大小为定值.
21．答案：(1)是,不是,理由见解析
(2)证明见解析
(3)的最大值是
解析：(1),,,
,是函数的“T类数”;
,,,
,不是函数的“T类数”.
(2)因为函数的“T类集”为集合S,且,
所以存在,使得且,
若,则,所以,
因为函数的图象是连续不断的,
不妨设,由零点存在定理知,必存在使得,
所以存在零点,即.
(3),则.
先证明：
因为函数的“T类集”为R,
所以对任意,
令,则,
因为函数的值域为,
所以当时,必有,
即对于恒成立,
所以函数的最小正周期T应有,即,则.
再证明,此时,对于任意,.
当时,,则,;
当时,,则,,
所以时函数的“T类集”为R,即.
我们不难发现,上述过程中令也成立.因此,的最大值是.
x
1
2.8188
2
1.0000
3
0.3644
4
0.2468
x
1
0.7580
2
1.0000
3
1.3188
4
1.7979
x
1
2.4132
2
1.0000
3
1.5885
4
4.1116
x
1
0.8664
2
1.0000
3
1.1188
4
1.2240