专题04 二次根式（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学高频题型归纳与训练（全国通用）

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►考向一 二次根式的定义和性质
1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
►考向二 二次根式有意义的条件
4．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·上海·中考真题）已知，则 ．
►考向一 二次根式的乘除
7．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．C．14D．
8．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ．
9．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间
10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
►考向二 二次根式的加减
11．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
13．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
►考向三 二次根式的混合运算
14．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
15．（2024·上海·中考真题）计算：．
16．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：．
17．（2024·山西·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
►考向四 二次根式的应用
18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A．B．C．D．
20．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
21．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
22．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
一、单选题
1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．4B．3C．1D．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则（ ）
A．4B．2C．1D．
5．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·云南·模拟预测）估算的结果在（ ）
A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间
7．（2024·河北秦皇岛·一模）若使算式“”的运算结果最小，则“”表示的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，中，．D是斜边上一动点，从点B运动到点C停止，连接，过点A作，且使（点E在直线右侧），点F是中点，连接，设，，y随x变化的图象如图2所示，b为曲线最低点的纵坐标，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ）
A．2027B．2026C．2025D．2024
二、填空题
13．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ．
14．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ．
15．（2024·山东泰安·一模）如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ．
16．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ．
17．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”）
18．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ．
19．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式有意义： ．
三、解答题
20．（2024·北京·模拟预测）计算：．
21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：．
22．（2024·全国·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
23．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当 则
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设， m、n是连续的正整数，
∴； ∵， ∴．
∴一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数．
课标要求
考点
考向
1、了解二次根式的概念，能从具体的式子中正确识别出二次根式。即学生需要知道形如√a（a≥0）的代数式称为二次根式，并且理解根号内的被开方数必须是非负数。
2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题。例如，在含有二次根式的表达式中，根据二次根式有意义的条件，确定字母的取值范围。
3、利用二次根式的性质和四则运算的法则进行简单的四则运算。这包括对二次根式进行加、减、乘、除等运算，以及在运算过程中运用二次根式的性质进行化简。
4、通过实际生活中的问题，引导学生用含根号的式子表示问题的结果，从而体会二次根式与实际生活的紧密联系。
5、在二次根式的学习中，学生需要通过对具体问题的分析和解决，逐步建立起对二次根式的抽象认识。

考点一 二次根式的概念和性质
考向一 二次根式的定义和性质
考向二 二次根式有意义的条件
考点二 二次根式的运算
二次根式的乘除
考向二 二次根式的加减
考向三 二次根式的混合运算
考向四 二次根式的应用
考点一 二次根式的概念和性质
易错易混提醒
（1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
（2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。
考点二 二次根式的运算
易错易混提醒
加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。
乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。
分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化