江苏无锡市东林中学2024-2025学年八上数学第16周综合难度题强化训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年八上数学第16周综合难度题强化训练模拟练习【含答案】，共25页。试卷主要包含了若a＝，分式方程无解，则a的值是，化简等内容，欢迎下载使用。
1．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为（ ）
A．110°B．125°C．130°D．155°
2．若互不相等的实数a，b，c满足a+＝c+，及b+＝a+，则（a+b）（b+c）（c+a）等于（ ）
A．1B．2C．±1D．
3．若＝1.442，＝0.6694，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
4．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
5．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．若a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝（+）2﹣，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．不能确定
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，则AC的长为（ ）
A．3B．11C．15D．9
8．分式方程无解，则a的值是（ ）
A．3或2B．﹣2或3C．﹣3或3D．﹣2或2
9．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
10．化简（a﹣1）•的结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
11．已知如图，长方形ABCD，AB＝8，BC＝6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（ ）
A．B．7C．8D．
12．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）
A．ab＝h2B．
C．D．a2+b2＝2h2
13．a、b、c是三个大于3的质数，则下列判断中一定正确的是（ ）
A．a+b+c是偶数B．a2+b2+c2是偶数
C．a+b+c是3的倍数D．a2+b2+c2是的倍数
二．填空题（共8小题）
14．已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
15．如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，若∠A＝40°，则∠D的大小为 ．
16． 如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．若S△ABC＝16，BD＝4，则EF长为 ．
17．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些分式方程，它们都有一个共同的特点：
若，则方程的解为2或；
若，则方程的解为3或；
若，则方程的解为4或；
请你用观察出的特点解决以下问题：
（1）若，则此方程的解为 ；
（2）若，则此方程的解为 （用含有a的代数式表示）．
18．若三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，则x+y+z的值是 或 ．
19．如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上6根相等长度的钢P1P2，P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为 ．
如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 ．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于 ．
三．解答题（共8小题）
22．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；
（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
23．已知关于x的方程．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值．
24．某学校响应政策号召，开设了“1小时体育锻炼”活动，学生参加体育运用的热情高涨，参加足球和篮球人数大增，现有的足球和篮球不够用了．为解决这一问题，学校准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．经调查：若购买30个足球和20个篮球共需4800元，购买10个足球和30个篮球共需4400元．
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元；
（2）学校准备购买足球和篮球共50个，且篮球数量不少于足球数量的，预算经费不超过4600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
25．△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．
（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；
（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；
（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．
已知实数a、b满足：，且|b|+b＞0，
求的值．
27．一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25个；若全班同学一起吃，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，则恰好用若干天吃完，问筐内最多共有多少个苹果．
28．已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，+＝2023，求×的最大值．
29．已知：△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接BD并延长至点E，连接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，求证：AE+CE＝BE；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BE上截取BF＝CE，连接CF，点G在EF上，连接AG，且∠EAG＝75°，∠BAG＝∠ACF，，求AG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．【解答】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠BCA+∠ECD＝100°，
∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，
∴∠ACD＝105°
∴∠A+∠D＝75°，
∴∠B+∠D＝75°，
∵∠BCD＝155°，
∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，
故选：C．
2．【解答】解：∵a+＝c+，b+＝a+，
∴a+b+＝c+b+，b+c+＝a+c+，
设a+b＝x，b+c＝y，a+c＝z，
则x+＝y+＝z+，
∴x﹣y＝，
y﹣z＝，
x﹣z＝，
∴（x﹣y）（y﹣z）（x﹣z）＝，
∵a，b，c是互不相等的实数，
∴x、y、z也不相等，
∴，
解得，xyz＝，
即（a+b）（b+c）（a+c）的值是，
故选：D．
3．【解答】解：∵＝0.6694，
∴＝4＝4×6.694＝26.776，
故选：C．
4．【解答】解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020
＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020
＝x﹣x2﹣2x+2020
＝﹣x2﹣x+2020
＝﹣（x2+x）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故选：A．
5．【解答】解：方程组变形为，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得．
故选：B．
6．【解答】解：∵a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|
＝3﹣1+﹣1
＝1+，
b＝（+）2﹣
＝5+2﹣2
＝5，
又∵1+＜5，
∴a＜b，
故选：B．
7．【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，又∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
8．【解答】解：分式方程化为整式方程得，ax﹣3＝2（x﹣1），
即（a﹣2）x＝1，
由于原分式方程无解，
所以a﹣2＝0，
解得a＝2，
如果分式方程有增根x＝1，
当x＝1时，a﹣2＝1，
解得a＝3，
综上所述，a＝2或a＝3，
故选：A．
9．【解答】解：方法一：如图1，在BC上取CD＝AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI＝∠BCI，
在△ACI与△DCI中，，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，
∵BC＝AI+AC，
∴BD＝AI，
∴BD＝DI，
∴∠IBD＝∠BID，
∴∠CDI＝∠IBD+∠BID＝2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，
∴∠CDI＝∠ABC，
∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝35°×2＝70°；
方法二：如图2，延长CA到D，使AD＝AI，
∴∠D＝∠AID，
∵BC＝AI+AC，
∴BC＝CD，
在△BCI与△DCI中，，
∴△BCI≌△DCI（SAS），
∴∠D＝∠CBI，
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBI，
又∵∠CAI＝∠D+∠AID＝2∠D，
∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：B．
10．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．
故选：D．
11．【解答】解：如图，AC与PQ相交于点O，OC＝AC＝＝5，
∵顶点A、C重合，
∴AC与PQ相互垂直平分，
∴∠POC＝90°，
而∠D＝90°，∠OCP＝∠DCA，
∴△POC∽△ADC，
∴，
即PO＝＝，
得，
因此．
故选：A．
12．【解答】解：∵ab＝ch
∴h＝
∴＝
∴＝＝＝．故选：C．
13．【解答】解：∵a、b、c是三个大于3的质数，
∴其和一定是奇数，它们的平分和也一定是奇数，
∴A，B不符合题意；
∵对于质数5，7，11，5+7+11＝23不是3的倍数，
∴C不符合题意，
故只能选D，
事实上，非3的倍数的平分除以3余1，
故三个大于3的质数的平方和必是3的倍数，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
14．【解答】解：∵a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，
∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1，b﹣c＝2020﹣2021＝﹣1，a﹣c＝2019﹣2021＝﹣2，
∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝（a2﹣2ab+b2+a2'﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2]＝3．
15．【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝110°．
故答案为：110°．
16．【解答】解：连接BE，
∵线段AD是△ABC的中线，
∴，
∵S△ABC＝16，
∴S△ABD＝8，
∵E为线段AD的中点，
∴线段BE是△ABD的中线，
∴S，
∴EF＝2，
故答案为：2．
17．【解答】解：（1）原方程变形得：，
即，
令t＝x+1，则，
那么方程的解为10或，
则x+1＝10或，
解得：x＝9或，
经检验，x＝9或是原方程的解，
故答案为：x＝9或；
（2）原方程变形得：，
则，
即，
令s＝3x﹣2，
那么，
则方程的解为a或，
即3x﹣2＝a或，
解得：或，
故答案为：或．
18．【解答】解：∵三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，
∴x，y，z中必有一个是11，令x＝11，
则11yz＝11（11+y+z），即：y（z﹣1）＝11+z，
∴y＝1+，
∵y是质数，
∴z﹣1＝1或2或3或4，
∴z＝2或3或4或5，
∵z是质数，
∴z＝4不符合题意，舍去，
当z＝2时，y＝13，
∴x+y+z＝11+13+2＝26，
当z＝3时，y＝7，
∴x+y+z＝11+7+3＝21，
当z＝5时，y＝4，y不是质数，舍去，
即：x+y+z的值是21或26，
故答案为：21，26．
19．【解答】解：设∠BAC＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P6P7，
∴∠A＝∠AP2P1＝x，
∴∠P2P1P3＝2x，
∴∠P3P2P4＝3x，
…，
∠P7P8P6＝7x，
∴7x＜90°且8x≥90°，则11.25°≤∠BAC＜（）°，
故∠BAC的最大值约为12°．
故答案为：12°．
20．【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
∵，且MN＝6，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2，
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，
∴△OP1P2的面积为，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH＝4，
∴△OP1P2的面积的最小值为，
故答案为：8．
21．【解答】解：过F作FN⊥AM于N，设EF与AM交于点K，连接PF，
∴∠FNA＝90°＝∠ABC，
∴∠FAN+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠FAN，
又∵AF＝AB，
∴Rt△ANF≌Rt△BCA（HL），
∴FN＝AC，
同理可求Rt△NFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△NFK≌Rt△CAT可得：FK＝AT，∠FKN＝∠ATC，
∴KE＝FT，∠FTP＝∠MKE，
又∵∠FPT＝∠M＝90°，
Rt△FPT≌Rt△EMK（AAS），
∴S3＝S△FPT，
同理可得Rt△AQF≌Rt△ACB，Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，
∵Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC＝SRt△ABC×3＝×2×4×3＝12．
故答案为：12．
三．解答题（共8小题）
22．【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2
＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x﹣3）4．
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
23．【解答】解：（1）把m＝4代入方程得：﹣＝，
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，
解方程得：x＝，
检验：当x＝时，（x﹣1）（x+2）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝；
（2），
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，
整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，
有三种情况：
第一种情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，
把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，
解得：m＝6；
第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，
解得：m＝﹣；
第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，
∴当1﹣m＝0时，方程无解，
即此时m＝1；
所以m＝6或﹣或1．
24．【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，一个篮球需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个足球需要80元，一个篮球需要120元；
（2）最省钱的购买方案为：购买37个足球，13个篮球，理由如下：
设购买m个足球，则购买（50﹣m）个篮球，
根据题意得：，
解得：35≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为35，36，37，
∴学校共有3种购买方案，
方案1：购买35个足球，15个篮球，所需费用为80×35+120×15＝4600（元）；
方案2：购买36个足球，14个篮球，所需费用为80×36+120×14＝4560（元）；
方案3：购买37个足球，13个篮球，所需费用为80×37+120×13＝4520（元）．
∵4600＞4560＞4520，
∴最省钱的购买方案为：购买37个足球，13个篮球．
25．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，
又∵∠FEA＝∠BEC，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（2）解：∠CFA＝90°．
理由如下：
同理可证△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵AB⊥BC，GH⊥AC，
∴BG＝GH，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠AGH＝45°，
∴GH＝AH，
∴AH＝BG，
在Rt△BCG和Rt△HCG中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），
∴BC＝CH，
∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．
26．【解答】解：由题意，得a﹣2≥0，2﹣a≥0，
∴a≥2，a≤2，即a＝2，
∴b2＝1，
又∵|b|+b＞0，
∴b＞0，
∴b＝1，
∴……+
＝
＝
＝
＝
＝
＝2024．
27．【解答】解：设全班共有x个同学，则苹果共有（3x+25）个，
∵5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，
∴全班同学每天吃1×5+2（x﹣5）＝（2x﹣5）个，
设全班同学恰好n天吃完，
∴（2x﹣5）n＝3x+25，
∴n＝＝+×，
∵n为正整数，
∴为奇数，
∴要使x最大，则＝1，
∴x＝35，
∴筐内最多共有3x+25＝3×35+25＝130（个）苹果．
答：筐内最多共有130个苹果．
28．【解答】解：首先，×的和一定时，差越小积越大，所以越大，×的乘积越大，
验证E＝9，8时均无解，
当E＝7时，＝1246，＝777，此时符合题意且积最大，
此时积为1246×777＝968142．
∴×的最大值为968142．
29．【解答】（1）证明：在BE上截取BH＝CE，连接AH，如图1所示：
∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABH＝∠ACE，
∵AB＝AC，BH＝CE，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝60°，
∴△HAE为等边三角形，
∴AE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝CE+AE，
即AE+CE＝BE；
（2）解：（1）中结论不成立；，理由如下：
在BE上截取BH＝CE，连接AH，如图2所示：
∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABH＝∠ACE，
∵AB＝AC，BH＝CE，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝90°，
∴△HAE为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：连接AF，过点A作AM⊥EF于点M，如图3所示：
∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△FAE为等腰直角三角形，
∴，
∵∠EAG＝75°，
∴∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝60°，
∴∠ABG＝∠ACE，∠BAG＝∠ACF，
∴∠ABG+∠BAG＝∠ACE+∠ACF，
即∠ABG+∠BAG＝∠FCE，
∵∠ABG+∠BAG＝∠AGE＝60°，
∴∠FCE＝60°，
∵∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
∵△FAE为等腰直角三角形，AM⊥EF，
∴，
∵∠AGM＝60°，∠AMG＝90°，
∴∠GAM＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∵AG2＝AM2+GM2，
∴，
解得：或（舍去），
∴AG的长为．
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答案
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C
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B
B
B
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B
D
A
题号
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答案
C
D