江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】，共21页。试卷主要包含了已知点P等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cs∠AOB的值等于（ ）
A．ODB．OAC．CDD．AB
2．已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2B．m＞1C．﹣2＜m＜1D．1＜m＜4
3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（ ）
①AG⊥BE；②HD平分∠EHG；③△ABG∽△FDG；④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是5−12；⑥当E、F重合时，延长AG交CD于M，则tan∠EBM=34．
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，在▱ABCD中，E是AB上一点，且BE＝2AE，连接DE交AC于点F，已知S△AFE＝1，则S△ADC的值是（ ）
A．9B．10C．12D．14
5．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是（ ）
A．31010B．655C．35D．12
6．已知⊙O的半径为3，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝32，AC＝3，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°或105°B．15°或105°C．15°或75°D．30°或90°
二．填空题（共7小题）
7．若直线y＝ax+b（ab≠0）经过第一、二、三象限，那么抛物线y＝ax2+bx顶点在第 象限．
8．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为 ．
9．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则sin∠ADC＝ ．
10．如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 （写所有正确结论的序号）．
①AM平分∠CAB；②ACAM=AMAB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则BM的长为π3；④若AC＝3BD，则有tan∠MAP=33．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝40°，则∠DAC的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：DB＝2：3，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC于点F，则BF：FC＝ ．
13．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）、（0，5），点C在x轴正半轴上，且∠ACB＝30°，则点C的坐标是 ．
三．解答题（共3小题）
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC＝∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CAB=25，求S△BCDS△AFC= （直接写出答案）．
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP＝∠BCQ时，求点P的坐标；
（3）若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．
16．【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：
【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．
第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；
第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．
【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF＝30°．
第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；
第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．
请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴cs∠AOB=OAOB=1OB；
∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
∴cs∠DOC=ODOC=OD．
故选：A．
2．【解答】解：∵2am+b＝0，
∴m=−b2a，
∴点M（m，y3）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，
∴m＞−2+42，
解得m＞1，
故选：B．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ABE和△DCF中，
AB=CD∠BAD=∠ADCAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCF，
∴∠ABE＝∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AG⊥BE，故①正确；
同法可证：△AGB≌△CGB，
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故③正确；
∵S△HDG：S△HBG＝DG：BG＝DF：BC＝DF：CD＝tan∠FCD，
又∵∠DAG＝∠FCD，
∴S△HDG：S△HBG＝tan∠FCD＝tan∠DAG，故④正确；
取AB的中点O，连接OD、OH，
∵正方形的边长为1，
∴AO＝OH=12×1=12，
由勾股定理得，OD=AO2+AD2=52，
∵OH+DH≥OD，
∴O、D、H三点共线时，DH最小，
∴DH最小=5−12．故⑤正确；
如图，当E、F重合时，则点E是AD的中点，设EC与BM的交于点N，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△BCG，
∴DEBC=DGBG=12，
∵AB∥CD，
∴DMAB=DGBG=12，
∴DM=12AB=12，
∴CM=12=DE，
又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDE＝90°，
∴△DCE≌△CBM（SAS），
∴∠CBM＝∠DCE，BM＝CE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE+∠CBM＝90°，
∴∠CNB＝90°，
∵BM=BC2+CM2=1+14=52，
∴CE=52，
∵S△BCM=12×BC×CM=12×BM×CN，
∴CN=55，
∴EN=3510，
∵tan∠CBM=CNBN=CMBC=12，
∴BN=255，
∴tan∠EBM=ENBN=34，故⑥正确；
如图，连接AC交BE于K，连接KD，
由正方形的对称性质可得KB＝KD，
∴∠KBD＝∠KDB，
在点E的运动过程中，当∠EBD＝22，5°时，∠EBD＝∠KDB＝∠KDE＝22.5°＞∠EDH，
∵∠DEH＝∠BED，
∴∠DHE＞∠BDE，即∠DHE＞45°，
此时DH不平分∠EHG，故②错误；
故选：A．
4．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴S△AEFS△CDF=（AECD）2，
∵BE＝2AE，
∴AB＝CD＝3AE，
∴S△AEFS△CDF=（AECD）2＝（13）2=19，
∵S△AFE＝1，
∴S△CDF＝9，
∵△AEF∽△CDF，
∴EFFD=AECD=13，
∴S△AEFS△ADF=13，
∴S△ADF＝3，
∴S△ADC＝S△CDF+S△ADF＝9+3＝12．
故选：C．
5．【解答】解：如图，连接格点B、D．
∵BC=22+42=25，AB=22+42=25，
AC=22+22=22，BD=32+32=32，
∴AB＝BC．
∵CD=2=12AC，
∴BD⊥AC．
在Rt△BCD中，
sin∠ACB=BDBC=3225=31010．
故选：A．
6．【解答】解：分为两种情况：
①当圆心O在∠BAC的内部时，如图所示，过O作OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，连接OA，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，AB＝32，
∴AE＝BE=322，
由勾股定理得：OE=OA2−AE2=32−(322)2=322，
即OE＝AE，
∴∠BAO＝45°，
∵OD⊥AB，OD过圆心O，AC＝3，
∴AD＝CD=32，
∵OA＝3，
∴AD=12OA，
∴∠AOD＝30°，
∴∠CAO＝60°，
∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝45°+60°＝105°；
②当O在∠BAC的外部时，
由①得：∠CAO＝60°，∠BAO＝45°，
所以∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°；
故选：B．
二．填空题（共7小题）
7．【解答】解：∵直线y＝ax+b（ab≠0）经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0；
∴抛物线y＝ax2+bx，开口向上，对称轴在y轴左侧，并经过原点，
∴抛物线y＝ax2+bx顶点在第三象限，
故答案为：三．
8．【解答】解：∵CB为⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA＝BC，
而OA＝OB，
∴OB＝BC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠BDC=12∠BOC＝22.5°．
故答案为：22.5°．
9．【解答】解：如图，延长CD到点E，连接BE，
由题意得：
DE2＝12+12＝2，
EB2＝22+22＝8，
BD2＝12+32＝10，
∴DE2+EB2＝BD2，
∴△DEB是直角三角形，
∴sin∠EDB=EBDB=2210=255，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴sin∠ADC=255，
故答案为：255．
10．【解答】解：连接OM，BM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∴∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴ACAM=AMAB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴BM的长为60×π×2180=2π3，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴PBPA=BDAC=13，
∴PB=13PA，
∴PB=12AB，
∴PB＝OB＝OA，
∵sin∠OPM=OMOP=12，
∴∠OPM＝30°，
∴∠CAP＝60°，
∵AM平分∠CAP，
∴∠MAP＝30°，
∴tan∠MAP=33，故④正确．
故答案为：①②④．
11．【解答】解：∵∠CBE＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝140°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝40°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA=12（180°﹣∠D）＝70°，
故答案为：70°．
12．【解答】解：过D作DG∥AF交BC于G，
∴BGGF=BDAD，
∵AD：DB＝2：3，
∴BGGF=32，
∵DG∥EF，
∴CFFG=CEDE，
∵点E是CD的中点，
∴CFGF=1，
∴CF＝GF，
∴BF：FC＝5：2，
故答案为：5：2．
13．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵点A、B的坐标分别为（0，1）、（0，5），
∴AB＝5﹣1＝4，
设C点坐标为（x，0），
在Rt△AOC中，AC=x2+12=x2+1，
在Rt△BOC中，BC=x2+52=x2+25，
∵AD⊥BC，且∠ACB＝30°，
∴AD=12AC=x2+12，
∴12AB•OC=12BC•AD，
12×4x=12×x2+25×x2+12，
整理，可得x4﹣36x2+25＝0，
解得：x＝23±7，
∴C点坐标为（23+7，0）或（23−7，0），
故答案为：（23+7，0）或（23−7，0）．
三．解答题（共3小题）
14．【解答】（1）证明：∵AO＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠FAC＝∠ACO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴OC∥AF，
∵CF⊥AF，
∴OC⊥FC，
∵OC为半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵过点C作⊙O的切线CF，过A作AF⊥CF，
∴∠OCF＝90°，∠AFC＝90°，
∴∠ACO+∠ACF＝90°，∠CAO+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠ACF＝∠ACE，
在△ACF和△ACE中，
∠AFC=∠AEC∠ACF=∠ACEAC=AC，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴S△ACE＝S△ACF，
∵弦CD⊥AB，
∴BD=BC，
∴∠BCD＝∠CAB，
∵sin∠CAB=25，
∴sin∠ECB=25，
设BE＝2a，则CB＝5a，
∴CE=BC2−BE2=21a，
∴AC=52AE=5221a，
∴AE=AC2−CE2=212a，
∴S△BCDS△AFC=12×221a×2a12×212a×21a=821．
故答案为：821．
15．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴−1−b+c=0−9+3b+c=0，
∴c=3b=2，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴b=3k+b=4，
∴k=1b=3，
∴y＝x+3，
如图1，过C点作CH垂直对称轴交于点H，连接CP交对称轴与点G，
∵CH＝1，DH＝1，
∴∠DCH＝45°，
∵OC＝BO＝3，
∴∠BCO＝45°，
∵∠DCP＝∠BCQ，
∴∠GCH＝∠OCQ，
∵tan∠OCQ=13=GHCH，
∴GH=13，
∴G（1，103），
设直线GC的解析式为y＝k'x+b'，
∴k′+b′=103b′=3，
∴k′=13b=3，
∴y=13x+3，
联立y=13x+3y=−x2+2x+3，
∴x=53，
∴P（53，329）；
（3）过点M作MK⊥CD交于点K，
∵∠KDM＝45°，
∴KM＝KD，
∴DM=2MK，
∵A（﹣1，0），Q（1，0），
∴AQ＝2，
∵以点M为圆心的圆经过A、B两点，
∴AM2＝MQ2+AQ2，即QM2＝AM2﹣4，
∵圆M与直线CD相切，
∴MK＝AM，
∴QD＝DM+QM=2AM+AM2−4=4，
∴AM＝42±23，
∴DM＝8±26，
∴QM＝﹣4+26或QM＝﹣4﹣26，
∴M点的坐标为（1，﹣4+26）或（1，﹣4﹣26）．
16．【解答】解：【方案一】如图1，过点A作AQ⊥BC于点Q，
在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∵∠C＝45°．AC＝2，
∴AQ＝CQ=22AC=2，
∵∠B＝30°，
∴BQ=3AQ=6，
∴BC＝BQ+QC=6+2，
∴CD=12BC=6+22，
∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝75°，
∴sin75°=DCAC=6+24．
【方案二】如图2，延长CB交FE于点H，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=2a，
∵∠DAF＝30°．
∴∠BAH＝60°，
∴∠H＝30°，
∴AH＝2AB＝2a，
∴BH=3AB=3a，
∴CH＝BH+BC=3a+a＝（3+1）a，
∴CG=12CH=(3+1)a2，
∵∠GAC＝∠CAD+∠DAF＝75°，
∴sin75°=CGAC=(3+1)a22a=6+24．
声明